Questão 2. (Teste da Raiz) Use o Teste da Raiz para discutir a convergência de:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}}
usando o Teste da Raiz. Para isso, vamos precisar da definição do teste e de como calcular \lim n^{1/n}.

Passo 2

O Teste da Raiz afirma que, para a_{n} real, definimos
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}.
Se L<1, a série \sum a_{n} converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste não decide.

Passo 3

Aqui a_{n}=\frac{n^{3}}{3^{n}}, então
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} =\sqrt[n]{\frac{n^{3}}{3^{n}}} =\frac{n^{3/n}}{3}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1, segue que \lim_{n\to\infty}n^{3/n}=1. Logo
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} =\frac{1}{3}<1.

Passo 4

Como L=\tfrac{1}{3}<1, pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{3^{n}} converge absolutamente pelo Teste da Raiz, pois o limite L=\tfrac{1}{3}<1.

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