Questão 3. (Comparação direta e pelo limite) Determine se as séries convergem ou divergem, justificando pelo teste de comparação adequado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5 n+4}{n^{2}+n}.

Passo 1

O enunciado pede determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5n+4}{n^2+n}
converge ou diverge, usando um teste de comparação. Vamos aplicar o teste de comparação por limites, comparando-a com a série harmônica \sum 1/n, que sabemos divergir.

Passo 2

Defina
a_n = \frac{5n+4}{n^2+n}, \quad b_n = \frac{1}{n}.
É conhecido que
\sum_{n=1}^{\infty}b_n = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica, a qual diverge.

Passo 3

Calcule o limite de a_n/b_n:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\tfrac{5n+4}{n^2+n}}{\tfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{5n+4}{n^2+n}\,\cdot n = \lim_{n\to\infty}\frac{5n^2+4n}{n^2+n}.
Fatorando n^2 no numerador e no denominador:
\frac{5n^2+4n}{n^2+n} = \frac{n^2\bigl(5+\tfrac{4}{n}\bigr)}{n^2\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \frac{5+0}{1+0} =5.
Como o limite é finito e não nulo, pelo teste de comparação de limites as duas séries têm o mesmo comportamento. Dado que \sum b_n diverge, segue que \sum a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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