Questão 4. (Séries alternadas) Classifique quanto à convergência e ao tipo (absoluta ou condicional):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}
e dizer se ela é absoluta ou condicional. O conteúdo envolve o Teste de Leibniz (séries alternadas) e o teste de p-séries para convergência absoluta.

Passo 2

Aplicamos o Teste de Leibniz para séries alternadas. Definimos
a_{n} = \frac{1}{n^{2}}.
Observamos que para todo n\ge1:
  1. a_{n+1} < a_{n}, pois \tfrac{1}{(n+1)^{2}}<\tfrac{1}{n^{2}}.
  2. \lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}} = 0.
    Logo, pela condição de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 3

Agora testamos a convergência absoluta, analisando
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Essa é uma p-série com p=2>1, que sabemos converge.

Passo 4

Como a série converge pelo Teste de Leibniz e também a série dos módulos converge (convergência absoluta), concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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