Questão 5. (Séries de potências) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n} .
Analise cuidadosamente o comportamento nas bordas do intervalo.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n}.
Para isso vamos usar o critério da razão para encontrar o raio e, em seguida, testar o comportamento da série nas bordas x=1\pm R.

Passo 2

Seja a_{n}=\frac{(x-1)^{n}}{n}. Aplicando o critério da razão:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x-1)^{n+1}/(n+1)}{(x-1)^{n}/n}\right| =\lim_{n\to\infty}\bigl|x-1\bigr|\frac{n}{n+1} =\bigl|x-1\bigr|.
A série converge se \bigl|x-1\bigr|<1, logo o raio de convergência é R=1 e a convergência absoluta ocorre para
0<x<2.

Passo 3

Analisando a borda à direita, x=1+R=2, o termo geral fica
\frac{(2-1)^{n}}{n}=\frac{1}{n},
e a série \sum 1/n diverge (séries harmônicas).

Passo 4

Analisando a borda à esquerda, x=1-R=0, o termo geral fica
\frac{(0-1)^{n}}{n}=\frac{(-1)^{n}}{n},
que é a série harmônica alternada. Como \{1/n\} é decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Passo 5

Portanto, o intervalo de convergência é
[0,2),
ou seja, inclui x=0 e exclui x=2.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: \,[0,2).

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