Questão 5. (Séries de potências) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
Analise cuidadosamente o comportamento nas bordas do intervalo.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
Para isso vamos usar o critério da razão para encontrar o raio e, em seguida, testar o comportamento da série nas bordas
.
Passo 2
Seja
. Aplicando o critério da razão:
A série converge se
, logo o raio de convergência é
e a convergência absoluta ocorre para
Passo 3
Analisando a borda à direita,
, o termo geral fica
e a série
diverge (séries harmônicas).
Passo 4
Analisando a borda à esquerda,
, o termo geral fica
que é a série harmônica alternada. Como
é decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).
Passo 5
Portanto, o intervalo de convergência é
ou seja, inclui
e exclui
.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: