Questão 1- Qual é o conjunto solução da equação 4 x^{4}- 9 x^{2}+2=0 ?
a) \quad\left\{-\sqrt{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \sqrt{2}\right\}
b) \quad\{-4,-2,2,4\}
c) \quad\{-\sqrt{4},-2,2, \sqrt{4}\}
d) \quad\{-\sqrt{3},-\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}
e) \quad\left\{-\sqrt{3},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \sqrt{3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes reais da equação
4x^{4} - 9x^{2} + 2 = 0.
Como o maior expoente de x é 4 e só aparecem potências pares, vamos ver isso como uma equação quadrática em x^2.

Passo 2

Façamos a substituição
y = x^2.
Com isso a equação fica
4y^2 - 9y + 2 = 0.

Passo 3

Para resolver \,4y^2 - 9y + 2 = 0 usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49.
Logo
y = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2\cdot 4} = \frac{9 \pm 7}{8},
resultando em
y_1 = \frac{16}{8} = 2, \quad y_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.

Passo 4

Voltando à variável x, temos dois casos:
  1. x^2 = 2, o que dá x = \pm \sqrt{2}.
  2. x^2 = \tfrac{1}{4}, o que dá x = \pm \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Reunindo todas as raízes reais, o conjunto solução é
\{-\sqrt{2},\, -\tfrac{1}{2},\, \tfrac{1}{2},\, \sqrt{2}\}.

Resposta

a) \{-\sqrt{2},\,-\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{2},\,\sqrt{2}\}

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