Suponha que P(E)=1 / 3 e P(E \cup F)=2 / 3. Determine P(F) nos seguintes casos:
(a) (2 pontos) os eventos E e F são independentes.

Passo 1

O enunciado dá P(E)=\tfrac{1}{3} e P(E\cup F)=\tfrac{2}{3}, e afirma que E e F são independentes. Vamos usar as fórmulas de independência e de probabilidade da união:
  1. Independência implica
P(E\cap F)=P(E)\,P(F).
  1. União de dois eventos dá
P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E\cap F).

Passo 2

Pela independência, substituímos P(E\cap F)=P(E)\,P(F) na fórmula da união:
P(E\cup F)=P(E)+P(F)-P(E)\,P(F).

Passo 3

Agora, seja x = P(F). Substituindo P(E)=\tfrac13 e P(E\cup F)=\tfrac23, obtemos
\frac23 = \frac13 + x - \frac13\,x = \frac13 + \frac23\,x.
Subtraindo \tfrac13 de ambos os lados fica
\frac13 = \frac23\,x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\tfrac13}{\tfrac23} = \frac12.

Resposta

P(F)=\tfrac{1}{2}

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