QUESTÃO 7 - Considerando o sistema linear abaixo
\left\{\begin{array}{c} 0 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=8 \\\\ 1 x_{1}+3 x_{2}+0 x_{3}=6 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3}=4 \end{array}\right.
a) O sistema satisfaz o critério de convergência da diagonal dominante do método iterativo de Gauss-Seidel?
b) Se não satisfazer, tem como fazer a troca conveniente de linhas para que o critério seja satisfeito?
c) Caso seja a sua resposta seja “sim” na letra “b”, faça a troca e dê a solução usando como solução inicial o x^{(0)}=(0,0,0) e uma tolerância de 0.01 para o erro absoluto \left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right| como critério de parada.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 0 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=8,\\[4pt] 1 x_{1}+3 x_{2}+0 x_{3}=6,\\[4pt] 3 x_{1}+1 x_{2}+1 x_{3}=4, \end{array}\right.
e pede três coisas:
(a) verificar se o sistema, na sua forma dada, satisfaz o critério de convergência pela diagonal dominante para o método de Gauss–Seidel;
(b) se não satisfizer, verificar se é possível trocar linhas de modo que o critério passe a ser satisfeito;
(c) caso a resposta em (b) seja “sim”, fazer a troca proposta e aplicar o método de Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0) e tolerância 0{,}01 para \left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right| (critério de parada), e fornecer a solução.
Dados importantes extraídos do enunciado: as três equações acima, o chute inicial x^{(0)}=(0,0,0) e a tolerância \varepsilon=0{,}01. Neste enunciado não há ambiguidade sobre a ordem das incógnitas: mantemos (x_1,x_2,x_3).]

Passo 2

Explico o critério de diagonal dominante (didático e sem pressa): uma matriz de coeficientes A=[a_{ij}] é dita diagonalmente dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|\ge\sum_{j\neq i}|a_{ij}|
e é estritamente diagonalmente dominante se o sinal \ge for estrito >. Um teorema útil: se a matriz for estritamente diagonalmente dominante por linhas, o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer chute inicial. Portanto vamos verificar a dominância linha a linha na matriz original. A matriz dos coeficientes, na ordem dada, é
A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 3 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculemos para cada linha i o valor |a_{ii}| e a soma \sum_{j\neq i}|a_{ij}|:
  • Linha 1: |a_{11}|=|0|=0 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|2|+|2|=4. Aqui 0<4 (falha).
  • Linha 2: |a_{22}|=|3|=3 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|1|+|0|=1. Aqui 3>1 (ok).
  • Linha 3: |a_{33}|=|1|=1 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|3|+|1|=4. Aqui 1<4 (falha).
Conclusão do passo: na forma dada o sistema NÃO satisfaz o critério de diagonal dominante (nem sequer por linhas fracas em todas as linhas). Portanto, resposta para (a): não satisfaz.]

Passo 3

Agora: é possível trocar linhas para que o critério fique satisfeito? Explico a ideia: trocar linhas equivale a permutar as equações sem alterar as incógnitas; queremos uma permutação das linhas tal que, na nova ordem, cada elemento diagonal a_{ii} seja (preferencialmente) grande em relação às outras entradas da mesma linha.
As linhas originais são (escrevo como vetores de coeficientes):
R_1=(0,2,2),\quad R_2=(1,3,0),\quad R_3=(3,1,1).
Procuramos uma permutação que coloque coeficientes relativamente grandes na diagonal. Testando permutações, a que funciona melhor é ordenar as linhas como (R_3,R_2,R_1), ou seja, trocar a primeira linha com a terceira e deixar a segunda no meio. A nova matriz de coeficientes fica
A_{\text{nova}}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 \end{pmatrix},
que corresponde ao sistema reescrito
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+1 x_{2}+1 x_{3}=4,\\[4pt] 1 x_{1}+3 x_{2}+0 x_{3}=6,\\[4pt] 0 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=8. \end{array}\right.
Verifiquemos a diagonalidade nessa ordem:
  • Linha 1: |a_{11}|=3, \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|1|+|1|=2, então 3>2 (estrita).
  • Linha 2: |a_{22}|=3, \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|1|+|0|=1, então 3>1 (estrita).
  • Linha 3: |a_{33}|=2, \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|0|+|2|=2, então 2=2 (igualdade).
Portanto a nova matriz é diagonalmente dominante por linhas (não estritamente em todas as linhas, pois a terceira linha tem igualdade). Em muitos cursos o critério usado como suficiente para Gauss–Seidel é a dominância estrita; aqui conseguimos duas linhas estritas e uma linha com igualdade. Isso normalmente é aceito como “satisfeita” pelo enunciado quando se permite a desigualdade \ge. Logo, respondendo a (b): sim, existe uma troca (trocar a linha 1 com a linha 3, i.e., ordem das linhas 3,2,1) que torna a matriz diagonalmente dominante por linhas. Vamos prosseguir com essa troca e aplicar Gauss–Seidel.]

Passo 4

Agora ensino o método de Gauss–Seidel de forma direta e aplico: O método consiste em isolar a incógnita da linha i pela sua equação e atualizar essa incógnita imediatamente, usando os valores mais recentes já calculados das incógnitas anteriores na mesma iteração. Para o sistema na nova ordem, isolamos cada variável:
Da linha 1 (nova): 3x_1 + 1x_2 + 1x_3 = 4. Isolando x_1:
x_1 = \frac{4 - x_2 - x_3}{3}.
Da linha 2: 1x_1 + 3x_2 + 0x_3 = 6. Isolando x_2:
x_2 = \frac{6 - x_1}{3}.
Da linha 3: 0x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 8. Isolando x_3:
x_3 = \frac{8 - 2x_2}{2} = 4 - x_2.
Estas três expressões formam as fórmulas de iteração Gauss–Seidel: em cada iteração k calculamos sequencialmente x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)},x_3^{(k+1)} usando as fórmulas acima, substituindo x_1 por seu novo valor imediatamente ao calcular x_2, e assim por diante.

Passo 5

Critério de parada: o enunciado pede que a parada seja feita com base no erro absoluto \left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right|. Vou interpretar isso de forma usual e prática como a norma infinito (máximo das diferenças de componente), i.e., parar quando
\max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|<0{,}01.
Começamos com o chute x^{(0)}=(0,0,0). Vou calcular as iterações de forma detalhada, mantendo frações quando conveniente para exatidão.

Passo 6

Iteração k=0 \to k=1:
Inicialmente x_1^{(0)}=0,\\ x_2^{(0)}=0,\\ x_3^{(0)}=0.
Usando as fórmulas:
x_1^{(1)}=\frac{4-x_2^{(0)}-x_3^{(0)}}{3}=\frac{4-0-0}{3}=\frac{4}{3}.
x_2^{(1)}=\frac{6-x_1^{(1)}}{3}=\frac{6-\tfrac{4}{3}}{3}=\frac{\tfrac{18-4}{3}}{3}=\frac{\tfrac{14}{3}}{3}=\frac{14}{9}.
x_3^{(1)}=4-x_2^{(1)}=4-\frac{14}{9}=\frac{36-14}{9}=\frac{22}{9}.
Logo
x^{(1)}=\left(\frac{4}{3},\frac{14}{9},\frac{22}{9}\right)\approx(1{,}3333,\;1{,}5556,\;2{,}4444).
Calculemos a diferença |x^{(1)}-x^{(0)}| (componente a componente) e a norma infinito:
|x^{(1)}-x^{(0)}|=\left(\frac{4}{3},\frac{14}{9},\frac{22}{9}\right),\qquad \max = \frac{22}{9}\approx2{,}4444>0{,}01.
Ainda não paramos.

Passo 7

Iteração k=1 \to k=2:
Usando os valores mais recentes x^{(1)}:
x_1^{(2)}=\frac{4-x_2^{(1)}-x_3^{(1)}}{3} =\frac{4-\tfrac{14}{9}-\tfrac{22}{9}}{3} =\frac{4-\tfrac{36}{9}}{3} =\frac{4-4}{3}=0.
x_2^{(2)}=\frac{6-x_1^{(2)}}{3}=\frac{6-0}{3}=2.
x_3^{(2)}=4-x_2^{(2)}=4-2=2.
Logo
x^{(2)}=(0,2,2).
Calculemos a diferença |x^{(2)}-x^{(1)}|:
|x^{(2)}-x^{(1)}|=\left| \left(0,2,2\right)-\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{14}{9},\tfrac{22}{9}\right)\right| =\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{9},\tfrac{4}{9}\right),
e a norma infinito é \max=\tfrac{4}{3}\approx1{,}3333>0{,}01. Ainda não satisfeito.

Passo 8

Iteração k=2 \to k=3:
Com x^{(2)}=(0,2,2):
x_1^{(3)}=\frac{4-x_2^{(2)}-x_3^{(2)}}{3}=\frac{4-2-2}{3}=0.
x_2^{(3)}=\frac{6-x_1^{(3)}}{3}=\frac{6-0}{3}=2.
x_3^{(3)}=4-x_2^{(3)}=4-2=2.
Portanto x^{(3)}=(0,2,2) novamente. Agora a diferença
|x^{(3)}-x^{(2)}|=(0,0,0),
e a norma infinito é 0<0{,}01. Assim o critério de parada é satisfeito aqui (após esta iteração).
Observação prática: chegamos à solução exata (0,2,2) em termos aritméticos; o vetor estabilizou após a segunda atualização completa e a terceira confirmou estabilidade. Contando as iterações completas realizadas, parou quando k=3 (tendo feito três iterações a partir do chute k=0): x^{(0)}\to x^{(1)}\to x^{(2)}\to x^{(3)}, e a parada ocorreu porque x^{(3)}=x^{(2)}.

Passo 9

Resumo final e incentivo (curto e animador): com a troca de linhas indicada o método convergiu rapidamente e encontramos a solução exata do sistema. Fica a dica: procurar colocar coeficientes grandes na diagonal costuma deixar as iterações muito mais comportadas. Você está indo bem — ficou rápido aqui, e isso é normal quando o sistema permite uma boa permutação.

Resposta

(a) Não; na forma dada o sistema não satisfaz o critério de diagonal dominante por linhas.
(b) Sim; trocando as linhas na ordem (3,2,1) (ou seja, permutando a 1ª com a 3ª) obtemos uma matriz diagonalmente dominante por linhas.
(c) Após a troca (3,2,1), aplicando Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0) e tolerância 0{,}01 obtemos a solução (0,2,2) (convergência observada em 3 iterações).

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