QUESTÃO 6 - Use o método iterativo de Jacobi para obter a solução do sistema de equações
\left\{\begin{array}{c} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=14 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=11 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=8 \end{array}\right.
Usando como aproximação inicial x^{(0)}=(0,0,0) e como critério de parada use uma tolerância de 0.01 para o erro absoluto \left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right|.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede que eu encontre a solução usando o método de Jacobi, começando de x^{(0)}=(0,0,0)\) e parando quando a diferença absoluta entre iterações for menor que a tolerância \(0,01\): \[\begin{cases} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=14,\\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=11,\\[4pt] 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=8. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Aproximação inicial: x^{(0)}=(0,0,0)\]. - Critério de parada: \(\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right|<0,01. Vou interpretar isso como norma infinito (máximo das diferenças componentes): parar quando \max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|<0,01.
    - Use o método iterativo de Jacobi.]

Passo 2

O que é o método de Jacobi (explicação didática): a ideia é isolar cada variável na sua própria equação e, a cada iteração, calcular cada componente de x^{(k+1)} usando somente os valores da iteração anterior x^{(k)}. Isso torna as atualizações paralelizáveis e fáceis de fazer à mão.
Fórmula geral (para nosso sistema): se a i-ésima equação tem forma
a_{ii}x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j = b_i,
então a iteração de Jacobi é
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j^{(k)}\right).
Aqui x_i^{(k)} é a estimativa da i-ésima variável na iteração k, a_{ii} é o coeficiente diagonal da linha i e b_i é o termo independente.
Convergência (breve): uma condição suficiente simples é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha. Verifico rapidamente para nosso sistema:
  • Linha 1: |10| > |2|+|1| = 3 — ok.
  • Linha 2: |5| > |1|+|1| = 2 — ok.
  • Linha 3: |10| > |2|+|3| = 5 — ok.
    Como todas satisfazem, o método de Jacobi deve convergir.

Passo 3

Isolando cada x_i para obter as fórmulas iterativas específicas:
x_1 = \frac{1}{10}\big(14 - 2x_2 - x_3\big),
x_2 = \frac{1}{5}\big(11 - x_1 - x_3\big),
x_3 = \frac{1}{10}\big(8 - 2x_1 - 3x_2\big).
Estas são as fórmulas que vou usar para calcular x^{(k+1)} a partir de x^{(k)}.

Passo 4

Iteração k=0 \to k=1. Começo com x^{(0)}=(0,0,0).
Calculo usando as fórmulas:
x_1^{(1)}=\frac{1}{10}(14-2\cdot 0-0)=\frac{14}{10}=1,4,
x_2^{(1)}=\frac{1}{5}(11-0-0)=\frac{11}{5}=2,2,
x_3^{(1)}=\frac{1}{10}(8-0-0)=\frac{8}{10}=0,8.
Diferença entre iterações (componente a componente):
|x_1^{(1)}-x_1^{(0)}|=1,4,\quad |x_2^{(1)}-x_2^{(0)}|=2,2,\quad |x_3^{(1)}-x_3^{(0)}|=0,8.
Norma infinito da diferença: \max\{1,4;2,2;0,8\}=2,2>0,01. Não parámos.

Passo 5

Iteração k=1 \to k=2. Uso x^{(1)}=(1,4,\,2,2,\,0,8).
Calculos:
x_1^{(2)}=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot 2,2 - 0,8\big)=\frac{14-4,4-0,8}{10}=\frac{8,8}{10}=0,88,
x_2^{(2)}=\frac{1}{5}\big(11-1,4-0,8\big)=\frac{8,8}{5}=1,76,
x_3^{(2)}=\frac{1}{10}\big(8-2\cdot1,4-3\cdot2,2\big)=\frac{8-2,8-6,6}{10}=\frac{-1,4}{10}=-0,14.
Diferenças:
|x_1^{(2)}-x_1^{(1)}|=|0,88-1,4|=0,52,
|x_2^{(2)}-x_2^{(1)}|=|1,76-2,2|=0,44,
|x_3^{(2)}-x_3^{(1)}|=|-0,14-0,8|=0,94.
Norma infinito =0,94>0,01. Continua.

Passo 6

Iteração k=2 \to k=3. Uso x^{(2)}=(0,88,\,1,76,\,-0,14).
Calculos:
x_1^{(3)}=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot1,76 -(-0,14)\big)=\frac{14-3,52+0,14}{10}=\frac{10,62}{10}=1,062,
x_2^{(3)}=\frac{1}{5}\big(11-0,88 -(-0,14)\big)=\frac{11-0,88+0,14}{5}=\frac{10,26}{5}=2,052,
x_3^{(3)}=\frac{1}{10}\big(8-2\cdot0,88 -3\cdot1,76\big)=\frac{8-1,76-5,28}{10}=\frac{0,96}{10}=0,096.
Diferenças:
|x_1^{(3)}-x_1^{(2)}|=|1,062-0,88|=0,182,
|x_2^{(3)}-x_2^{(2)}|=|2,052-1,76|=0,292,
|x_3^{(3)}-x_3^{(2)}|=|0,096-(-0,14)|=0,236.
Norma infinito =0,292>0,01. Continua.

Passo 7

Iteração k=3 \to k=4. Uso x^{(3)}=(1,062,\,2,052,\,0,096).
Calculos:
x_1^{(4)}=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot2,052 - 0,096\big)=\frac{14-4,104-0,096}{10}=\frac{9,8}{10}=0,98,
x_2^{(4)}=\frac{1}{5}\big(11-1,062 - 0,096\big)=\frac{9,842}{5}=1,9684,
x_3^{(4)}=\frac{1}{10}\big(8-2\cdot1,062 -3\cdot2,052\big)=\frac{8-2,124-6,156}{10}=\frac{-0,28}{10}=-0,028.
Diferenças:
|x_1^{(4)}-x_1^{(3)}|=|0,98-1,062|=0,082,
|x_2^{(4)}-x_2^{(3)}|=|1,9684-2,052|=0,0836,
|x_3^{(4)}-x_3^{(3)}|=|-0,028-0,096|=0,124.
Norma infinito =0,124>0,01. Continua.

Passo 8

Iteração k=4 \to k=5. Uso x^{(4)}=(0,98,\,1,9684,\,-0,028).
Calculos:
x_1^{(5)}=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot1,9684 -(-0,028)\big) =\frac{14-3,9368+0,028}{10}=\frac{10,0912}{10}=1,00912,
x_2^{(5)}=\frac{1}{5}\big(11-0,98 -(-0,028)\big) =\frac{11-0,98+0,028}{5}=\frac{10,048}{5}=2,0096,
x_3^{(5)}=\frac{1}{10}\big(8-2\cdot0,98 -3\cdot1,9684\big) =\frac{8-1,96-5,9052}{10}=\frac{0,1348}{10}=0,01348.
Diferenças:
|x_1^{(5)}-x_1^{(4)}|=|1,00912-0,98|=0,02912,
|x_2^{(5)}-x_2^{(4)}|=|2,0096-1,9684|=0,0412,
|x_3^{(5)}-x_3^{(4)}|=|0,01348-(-0,028)|=0,04148.
Norma infinito =0,04148>0,01. Continua.

Passo 9

Iteração k=5 \to k=6. Uso x^{(5)}=(1,00912,\,2,0096,\,0,01348).
Calculos:
x_1^{(6)}=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot2,0096 - 0,01348\big) =\frac{14-4,0192-0,01348}{10}=\frac{9,96732}{10}=0,996732,
x_2^{(6)}=\frac{1}{5}\big(11-1,00912 - 0,01348\big) =\frac{9,9774}{5}=1,99548,
x_3^{(6)}=\frac{1}{10}\big(8-2\cdot1,00912 -3\cdot2,0096\big) =\frac{8-2,01824-6,0288}{10}=\frac{-0,04704}{10}=-0,004704.
Diferenças:
|x_1^{(6)}-x_1^{(5)}|=|0,996732-1,00912|=0,012388,
|x_2^{(6)}-x_2^{(5)}|=|1,99548-2,0096|=0,01412,
|x_3^{(6)}-x_3^{(5)}|=|-0,004704-0,01348|=0,018184.
Norma infinito =0,018184>0,01. Continua.

Passo 10

Iteração k=6 \to k=7. Uso x^{(6)}=(0,996732,\,1,99548,\,-0,004704).
Calculos:
x_1^{(7)}=\frac{1}{10}\big(14-2\cdot1,99548 -(-0,004704)\big) =\frac{14-3,99096+0,004704}{10}=\frac{10,013744}{10}=1,0013744,
x_2^{(7)}=\frac{1}{5}\big(11-0,996732 -(-0,004704)\big) =\frac{11-0,996732+0,004704}{5}=\frac{10,007972}{5}=2,0015944,
x_3^{(7)}=\frac{1}{10}\big(8-2\cdot0,996732 -3\cdot1,99548\big) =\frac{8-1,993464-5,98644}{10}=\frac{0,020096}{10}=0,0020096.
Diferenças:
|x_1^{(7)}-x_1^{(6)}|=|1,0013744-0,996732|=0,0046424,
|x_2^{(7)}-x_2^{(6)}|=|2,0015944-1,99548|=0,0061144,
|x_3^{(7)}-x_3^{(6)}|=|0,0020096-(-0,004704)|=0,0067136.
Norma infinito =\max\{0,0046424;0,0061144;0,0067136\}=0,0067136<0,01. A condição de parada é satisfeita, portanto paramos aqui. A solução aproximada é x^{(7)}.

Resposta

\displaystyle x_1 \approx 1,0013744
\displaystyle x_2 \approx 2,0015944
\displaystyle x_3 \approx 0,0020096

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