Usando como aproximação inicial x^{(0)}=(0,0,0) e como critério de parada use uma tolerância de 0.01 para o erro absoluto \left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right|.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede que eu encontre a solução usando o método de Jacobi, começando de x^{(0)}=(0,0,0)\) e parando quando a diferença absoluta entre iterações for menor que a tolerância \(0,01\):
\[\begin{cases} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=14,\\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=11,\\[4pt] 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=8. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
Aproximação inicial: x^{(0)}=(0,0,0)\].
- Critério de parada: \(\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right|<0,01. Vou interpretar isso como norma infinito (máximo das diferenças componentes): parar quando \max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|<0,01.
- Use o método iterativo de Jacobi.]
Passo 2
O que é o método de Jacobi (explicação didática): a ideia é isolar cada variável na sua própria equação e, a cada iteração, calcular cada componente de x^{(k+1)} usando somente os valores da iteração anterior x^{(k)}. Isso torna as atualizações paralelizáveis e fáceis de fazer à mão.
Fórmula geral (para nosso sistema): se a i-ésima equação tem forma
Aqui x_i^{(k)} é a estimativa da i-ésima variável na iteração k, a_{ii} é o coeficiente diagonal da linha i e b_i é o termo independente.
Convergência (breve): uma condição suficiente simples é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada linha. Verifico rapidamente para nosso sistema:
Linha 1: |10| > |2|+|1| = 3 — ok.
Linha 2: |5| > |1|+|1| = 2 — ok.
Linha 3: |10| > |2|+|3| = 5 — ok.
Como todas satisfazem, o método de Jacobi deve convergir.
Passo 3
Isolando cada x_i para obter as fórmulas iterativas específicas:
x_1 = \frac{1}{10}\big(14 - 2x_2 - x_3\big),
x_2 = \frac{1}{5}\big(11 - x_1 - x_3\big),
x_3 = \frac{1}{10}\big(8 - 2x_1 - 3x_2\big).
Estas são as fórmulas que vou usar para calcular x^{(k+1)} a partir de x^{(k)}.
Passo 4
Iteração k=0\tok=1. Começo com x^{(0)}=(0,0,0).
Calculo usando as fórmulas:
Norma infinito =\max\{0,0046424;0,0061144;0,0067136\}=0,0067136<0,01. A condição de parada é satisfeita, portanto paramos aqui. A solução aproximada é x^{(7)}.