a) Dê a solução do sistema ( x, y ) usando o escalonamento de Gauss sem pivotamento com duas casas decimais;
b) Dê a solução do sistema ( x, y ) usando o escalonamento de Gauss com pivotamento parcial e duas casas decimais;
c) Altere o valor " 6 " por " 5.99 " e repete a letra " a " a " b ". Que conclusões você chegou?
\text { Solução } \quad \text { a) }(0,2) \text { e }(1,2) \quad \text { b) }(-50,2) \text { e }(1,2)çã
e pede:
a) resolver usando escalonamento de Gauss sem pivotamento com duas casas decimais;
b) resolver usando escalonamento de Gauss com pivotamento parcial com duas casas decimais;
c) repetir (a) e (b) depois de alterar o primeiro elemento do vetor do lado direito de 6 para 5{,}99, e comparar/interpretar os resultados.
Dados relevantes listados explicitamente:
Matriz dos coeficientes A=\begin{pmatrix}0{,}0002 & 3\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Vetor do lado direito original b=\begin{pmatrix}6\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Deve-se usar aritmética com arredondamento para duas casas decimais durante o processo (ou seja, cada número que for obtido nas operações será guardado arredondado para duas casas decimais).]
Passo 2
Explico o método e as regras de arredondamento (passo-a-passo, como se fosse na prova):
Escalonamento de Gauss (sem pivotamento): para zerar abaixo do pivô a_{11} usamos, para a segunda linha, o múltiplo
Depois resolvemos por substituição regressiva. Sempre que calcularmos um número (multiplicador, elemento da linha, RHS, solução parcial) guardamos esse número arredondado para duas casas decimais (por exemplo 1{,}23456\to 1{,}23).
Pivotamento parcial: antes de usar a_{11} como pivô, comparamos |a_{11}| e |a_{21}|; se |a_{21}| for maior trocamos as linhas 1 e 2 (essa troca melhora a estabilidade numérica). Depois aplicamos o mesmo procedimento de eliminação, sempre arredondando para duas casas decimais os resultados intermediários.
Vou aplicar essas regras rigorosamente em cada caso e mostrar todas as contas arredondadas.
Portanto a equação final da segunda linha (arredondada) é
0{,}00\cdot x -29999{,}00\cdot y = -59996{,}00.
Passo 4
Da segunda equação obtemos y:
y = \frac{-59996{,}00}{-29999{,}00} \approx 1{,}99993333\ldots
Arredondando para duas casas decimais guardamos
y \approx 2{,}00.
Agora voltamos à primeira equação (arredondada com duas casas durante as operações):
0{,}0002\,x + 3\,y = 6.
Substituindo y\approx 2{,}00 calculamos 3y\approx 6{,}00. Então
0{,}0002\,x = 6 - 6{,}00 = 0{,}00.
Logo
x = \frac{0{,}00}{0{,}0002} = 0{,}00.
Portanto, usando Gauss sem pivotamento com arredondamento para duas casas, a solução obtida é (x,y)=(0{,}00,\;2{,}00).
Passo 5
Antes de eliminar, comparamos os pivôs candidatos na coluna 1: |a_{11}|=|0{,}0002| e |a_{21}|=|2|. Vemos |2| > |0{,}0002|, então trocamos \text{L}_1 e \text{L}_2. Após a troca:
Agora a segunda equação (arredondada) é 0{,}0002\,x + 3{,}00\,y = 6{,}00. Resolvemos por substituição regressiva: primeiro da segunda linha isolamos y depois usamos na primeira, ou mais direto: de \text{L}_2 isolamos y:
3{,}00\,y \approx 6{,}00 \quad\Rightarrow\quad y \approx \frac{6{,}00}{3{,}00}=2{,}00.
Substituindo em \text{L}_1: 2{,}00\,x + 1{,}00\cdot 2{,}00 = 4{,}00 implica 2{,}00\,x = 2{,}00 e portanto
x = \frac{2{,}00}{2{,}00}=1{,}00.
Assim, com pivotamento parcial e arredondamento para duas casas obtemos (x,y)=(1{,}00,\;2{,}00).
Atualização da segunda linha: 10000{,}00\cdot\text{L}_1=(2{,}00,\;30000{,}00,\;59900{,}00). Subtraindo de \text{L}_2=(2{,}00,\;1{,}00,\;4{,}00) obtemos, arredondando:
Multiplicador m_{21}=\frac{0{,}0002}{2}=0{,}0001\approx 0{,}00. Logo \text{L}_2 permanece praticamente inalterada.
Da segunda linha obtemos
3{,}00\,y\approx 5{,}99 \quad\Rightarrow\quad y\approx \frac{5{,}99}{3{,}00}\approx 1{,}9966\ldots \text{que arredondamos para }2{,}00.
Substituindo em \text{L}_1: 2{,}00\,x + 1{,}00\cdot 2{,}00 = 4{,}00\Rightarrow x=1{,}00.
Assim, com pivotamento parcial continuamos a obter (x,y)=(1{,}00,\;2{,}00) apesar da pequena perturbação.
Passo 7
Mostrei passo a passo como calcular os multiplicadores, atualizar linhas e arredondar a cada resultado para duas casas decimais. Note que os números grandes do multiplicador m_{21}=10000 levam a cancelamentos e perdas de informação quando arredondamos: no caso sem pivotamento a diferença pequena entre 6 e 5{,}99 (um erro de 0{,}01) foi amplificada e gerou uma diferença enorme em x (de 0{,}00 para -50{,}00). Isso mostra que:
O procedimento sem pivotamento é numericamente instável para matrizes com pivô muito pequeno (aqui a_{11}=0{,}0002 é muito menor que a_{21}=2), porque o multiplicador fica enorme e o arredondamento destrói informação.
O pivotamento parcial (trocar linhas para escolher o maior elemento em magnitude como pivô) reduz esse problema: o pivô se torna 2 e o multiplicador pequeno 0{,}0001 que arredonda para zero, evitando operações que geram cancelamentos fortes. Assim o resultado fica estável e insensível à pequena perturbação em b.
Para a prova: sempre explique qual é a regra de arredondamento que você está usando (aqui, arredondar cada resultado a duas casas). Calcule os multiplicadores exatamente quando possível e depois arredonde o multiplicador; mostre explicitamente as atualizações de linha e os arredondamentos. E lembre-se: quando o pivô é muito pequeno, é obrigatório considerar pivotamento parcial para evitar respostas absurdas.
Resposta
a) (0{,}00,\;2{,}00)
b) (1{,}00,\;2{,}00)
c a) (-50{,}00,\;2{,}00)
c b) (1{,}00,\;2{,}00)