QUESTÃO 4 - Considerando o sistema linear abaixo
\left(\begin{array}{cc} 0.0002 & 3 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{6}{4}
a) Dê a solução do sistema ( x, y ) usando o escalonamento de Gauss sem pivotamento com duas casas decimais;
b) Dê a solução do sistema ( x, y ) usando o escalonamento de Gauss com pivotamento parcial e duas casas decimais;
c) Altere o valor " 6 " por " 5.99 " e repete a letra " a " a " b ". Que conclusões você chegou?
\text { Solução } \quad \text { a) }(0,2) \text { e }(1,2) \quad \text { b) }(-50,2) \text { e }(1,2)çã

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{pmatrix} 0{,}0002 & 3\\[4pt] 2 & 1 \end{pmatrix} \binom{x}{y}=\binom{6}{4}
e pede:
a) resolver usando escalonamento de Gauss sem pivotamento com duas casas decimais;
b) resolver usando escalonamento de Gauss com pivotamento parcial com duas casas decimais;
c) repetir (a) e (b) depois de alterar o primeiro elemento do vetor do lado direito de 6 para 5{,}99, e comparar/interpretar os resultados.
Dados relevantes listados explicitamente:
  • Matriz dos coeficientes A=\begin{pmatrix}0{,}0002 & 3\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}.
  • Vetor do lado direito original b=\begin{pmatrix}6\\[2pt]4\end{pmatrix}.
  • Vetor perturbado b'=\begin{pmatrix}5{,}99\\[2pt]4\end{pmatrix}.
  • Deve-se usar aritmética com arredondamento para duas casas decimais durante o processo (ou seja, cada número que for obtido nas operações será guardado arredondado para duas casas decimais).]

Passo 2

Explico o método e as regras de arredondamento (passo-a-passo, como se fosse na prova):
  • Escalonamento de Gauss (sem pivotamento): para zerar abaixo do pivô a_{11} usamos, para a segunda linha, o múltiplo
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}.
Depois atualizamos a segunda linha por
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - m_{21}\cdot\text{linha}_1.
Depois resolvemos por substituição regressiva. Sempre que calcularmos um número (multiplicador, elemento da linha, RHS, solução parcial) guardamos esse número arredondado para duas casas decimais (por exemplo 1{,}23456\to 1{,}23).
  • Pivotamento parcial: antes de usar a_{11} como pivô, comparamos |a_{11}| e |a_{21}|; se |a_{21}| for maior trocamos as linhas 1 e 2 (essa troca melhora a estabilidade numérica). Depois aplicamos o mesmo procedimento de eliminação, sempre arredondando para duas casas decimais os resultados intermediários.
Vou aplicar essas regras rigorosamente em cada caso e mostrar todas as contas arredondadas.

Passo 3

Começamos com as linhas
\text{L}_1:\;0{,}0002\,x+3\,y=6,\qquad \text{L}_2:\;2\,x+1\,y=4.
Calculamos o multiplicador para zerar x em \text{L}_2:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{2}{0{,}0002}=10000.
Arredondamos m_{21} para duas casas decimais:
m_{21}\approx 10000{,}00.
Agora atualizamos \text{L}_2:
  • multiplicando \text{L}_1 por 10000{,}00 (arredondando os produtos):
10000{,}00\cdot\text{L}_1 \Rightarrow \big(10000{,}00\cdot 0{,}0002,\;10000{,}00\cdot 3,\;10000{,}00\cdot 6\big)=(2{,}00,\;30000{,}00,\;60000{,}00).
  • subtraindo de \text{L}_2 e arredondando cada entrada a duas casas:
\text{L}_2 \leftarrow (2{,}00,\;1{,}00,\;4{,}00)-(2{,}00,\;30000{,}00,\;60000{,}00)=(0{,}00,\;-29999{,}00,\;-59996{,}00).
Portanto a equação final da segunda linha (arredondada) é
0{,}00\cdot x -29999{,}00\cdot y = -59996{,}00.

Passo 4

Da segunda equação obtemos y:
y = \frac{-59996{,}00}{-29999{,}00} \approx 1{,}99993333\ldots
Arredondando para duas casas decimais guardamos
y \approx 2{,}00.
Agora voltamos à primeira equação (arredondada com duas casas durante as operações):
0{,}0002\,x + 3\,y = 6.
Substituindo y\approx 2{,}00 calculamos 3y\approx 6{,}00. Então
0{,}0002\,x = 6 - 6{,}00 = 0{,}00.
Logo
x = \frac{0{,}00}{0{,}0002} = 0{,}00.
Portanto, usando Gauss sem pivotamento com arredondamento para duas casas, a solução obtida é (x,y)=(0{,}00,\;2{,}00).

Passo 5

Antes de eliminar, comparamos os pivôs candidatos na coluna 1: |a_{11}|=|0{,}0002| e |a_{21}|=|2|. Vemos |2| > |0{,}0002|, então trocamos \text{L}_1 e \text{L}_2. Após a troca:
\text{L}_1:\;2\,x+1\,y=4,\qquad \text{L}_2:\;0{,}0002\,x+3\,y=6.
Calculamos o multiplicador
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{0{,}0002}{2}=0{,}0001,
e arredondamos para duas casas:
m_{21}\approx 0{,}00.
Atualizamos \text{L}_2 com esse multiplicador (como m_{21} arredondou para 0{,}00, a linha praticamente não muda):
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 0{,}00\cdot\text{L}_1 = \text{L}_2 \approx (0{,}0002,\;3{,}00,\;6{,}00).
Agora a segunda equação (arredondada) é 0{,}0002\,x + 3{,}00\,y = 6{,}00. Resolvemos por substituição regressiva: primeiro da segunda linha isolamos y depois usamos na primeira, ou mais direto: de \text{L}_2 isolamos y:
3{,}00\,y \approx 6{,}00 \quad\Rightarrow\quad y \approx \frac{6{,}00}{3{,}00}=2{,}00.
Substituindo em \text{L}_1: 2{,}00\,x + 1{,}00\cdot 2{,}00 = 4{,}00 implica 2{,}00\,x = 2{,}00 e portanto
x = \frac{2{,}00}{2{,}00}=1{,}00.
Assim, com pivotamento parcial e arredondamento para duas casas obtemos (x,y)=(1{,}00,\;2{,}00).

Passo 6

Agora trabalhamos com o vetor b'=(5{,}99,4).
Passo 6.1 — sem pivotamento:
  • Linhas iniciais:
\text{L}_1:\;0{,}0002\,x+3\,y=5{,}99,\qquad \text{L}_2:\;2\,x+1\,y=4.
  • Multiplicador:
m_{21}=\frac{2}{0{,}0002}=10000\approx 10000{,}00.
  • Atualização da segunda linha: 10000{,}00\cdot\text{L}_1=(2{,}00,\;30000{,}00,\;59900{,}00). Subtraindo de \text{L}_2=(2{,}00,\;1{,}00,\;4{,}00) obtemos, arredondando:
\text{L}_2 \leftarrow (0{,}00,\;-29999{,}00,\;-59896{,}00).
  • Da segunda linha:
y=\frac{-59896{,}00}{-29999{,}00}\approx 1{,}99659989\ldots
Arredondando para duas casas:
y\approx 2{,}00.
  • Volta à primeira linha: 0{,}0002\,x+3\cdot 2{,}00 = 5{,}99. Então 3\cdot2{,}00=6{,}00 e
0{,}0002\,x = 5{,}99 - 6{,}00 = -0{,}01.
Portanto
x=\frac{-0{,}01}{0{,}0002}=-50{,}00.
Logo, sem pivotamento e com RHS perturbado obtemos (x,y)=(-50{,}00,\;2{,}00).
Passo 6.2 — com pivotamento parcial (com 5{,}99):
  • Comparamos |0{,}0002| e |2| e trocamos linhas (como antes). Após a troca:
\text{L}_1:\;2\,x+1\,y=4,\qquad \text{L}_2:\;0{,}0002\,x+3\,y=5{,}99.
  • Multiplicador m_{21}=\frac{0{,}0002}{2}=0{,}0001\approx 0{,}00. Logo \text{L}_2 permanece praticamente inalterada.
  • Da segunda linha obtemos
3{,}00\,y\approx 5{,}99 \quad\Rightarrow\quad y\approx \frac{5{,}99}{3{,}00}\approx 1{,}9966\ldots \text{que arredondamos para }2{,}00.
  • Substituindo em \text{L}_1: 2{,}00\,x + 1{,}00\cdot 2{,}00 = 4{,}00\Rightarrow x=1{,}00.
    Assim, com pivotamento parcial continuamos a obter (x,y)=(1{,}00,\;2{,}00) apesar da pequena perturbação.

Passo 7

  • Mostrei passo a passo como calcular os multiplicadores, atualizar linhas e arredondar a cada resultado para duas casas decimais. Note que os números grandes do multiplicador m_{21}=10000 levam a cancelamentos e perdas de informação quando arredondamos: no caso sem pivotamento a diferença pequena entre 6 e 5{,}99 (um erro de 0{,}01) foi amplificada e gerou uma diferença enorme em x (de 0{,}00 para -50{,}00). Isso mostra que:
    • O procedimento sem pivotamento é numericamente instável para matrizes com pivô muito pequeno (aqui a_{11}=0{,}0002 é muito menor que a_{21}=2), porque o multiplicador fica enorme e o arredondamento destrói informação.
    • O pivotamento parcial (trocar linhas para escolher o maior elemento em magnitude como pivô) reduz esse problema: o pivô se torna 2 e o multiplicador pequeno 0{,}0001 que arredonda para zero, evitando operações que geram cancelamentos fortes. Assim o resultado fica estável e insensível à pequena perturbação em b.
  • Para a prova: sempre explique qual é a regra de arredondamento que você está usando (aqui, arredondar cada resultado a duas casas). Calcule os multiplicadores exatamente quando possível e depois arredonde o multiplicador; mostre explicitamente as atualizações de linha e os arredondamentos. E lembre-se: quando o pivô é muito pequeno, é obrigatório considerar pivotamento parcial para evitar respostas absurdas.

Resposta

a) (0{,}00,\;2{,}00)
b) (1{,}00,\;2{,}00)
c a) (-50{,}00,\;2{,}00)
c b) (1{,}00,\;2{,}00)

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