Questão 2. Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cujo núcleo é dado por T)=\operatorname{span}\{(1,-1,0,0),(0,0,1,1)\}.
(a) Determine a dimensão da imagem de T.
(b) Construa uma possível matriz assocíada a $T.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear \displaystyle T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}
cujo núcleo é \ker T = \span\{(1,-1,0,0),\,(0,0,1,1)\}.
Pede-se (a) a dimensão da imagem de T e (b) construir uma matriz 3\times4 associada a T que tenha exatamente esse núcleo.

Passo 2

Pela definição de núcleo, temos duas geradoras que são visivelmente independentes (uma atua nas duas primeiras coordenadas e outra nas duas últimas), então
\dim\ker T = 2.
Pelo teorema da dimensão (rank–nullity),
\dim\Im T \;+\;\dim\ker T \;=\;\dim\mathbb{R}^{4}=4,
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\dim\Im T = 4 - 2 = 2.

Passo 3

Para achar uma matriz A de dimensão 3\times4 com \ker A=\ker T, basta escolher linhas de A que anulem exatamente os vetores do núcleo. Seja r=(r_1,r_2,r_3,r_4) uma linha de A. Pedimos
r\cdot(1,-1,0,0)=0 \quad\text{e}\quad r\cdot(0,0,1,1)=0.
Isso dá as equações
r_1 - r_2 = 0, \quad r_3 + r_4 = 0,
ou seja, r_1=r_2 e r_4=-r_3. Assim, o espaço de todas as linhas que anulam o núcleo é \{(a,a,b,-b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}, que tem dimensão 2.

Passo 4

Basta escolher duas linhas independentes nesse subespaço e uma terceira linha qualquer (por exemplo, a linha zero). Uma escolha simples é (1,1,0,0) e (0,0,1,-1). Colocando essas duas linhas nas duas primeiras linhas de A e a terceira linha nula, obtemos uma matriz de posto 2 cujo núcleo é o desejado.

Resposta

(a) \dim\Im T = 2.
(b) Uma possível matriz associada a T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que tem \ker A=\span\{(1,-1,0,0),(0,0,1,1)\} e \rank A=2.

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