Questão 2. Considere a transformação linear
cujo núcleo é dado por
.
(a) Determine a dimensão da imagem de
.
(b) Construa uma possível matriz assocíada a $T.
(a) Determine a dimensão da imagem de
(b) Construa uma possível matriz assocíada a $T.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
cujo núcleo é .
Pede-se (a) a dimensão da imagem de e (b) construir uma matriz
associada a
que tenha exatamente esse núcleo.
cujo núcleo é .
Pede-se (a) a dimensão da imagem de
Passo 2
Pela definição de núcleo, temos duas geradoras que são visivelmente independentes (uma atua nas duas primeiras coordenadas e outra nas duas últimas), então
Pelo teorema da dimensão (rank–nullity),
logo
Passo 3
Para achar uma matriz
de dimensão
com
, basta escolher linhas de
que anulem exatamente os vetores do núcleo. Seja
uma linha de
. Pedimos
Isso dá as equações
ou seja,
e
. Assim, o espaço de todas as linhas que anulam o núcleo é
, que tem dimensão 2.
Passo 4
Basta escolher duas linhas independentes nesse subespaço e uma terceira linha qualquer (por exemplo, a linha zero). Uma escolha simples é
e
. Colocando essas duas linhas nas duas primeiras linhas de
e a terceira linha nula, obtemos uma matriz de posto 2 cujo núcleo é o desejado.
Resposta
(a)
(b) Uma possível matriz associada a é
(b) Uma possível matriz associada a
que tem
e
.