Questão 2: Em , considere as bases e a base canônica de . Determine:
a) Mostre que 'é uma base para .
b) Encontre a matriz de transição
c) Use Pbeta beta^prime para determinar [v]beta^prime onde vbeta=(5,7) [v]beta^prime=(-3 / 14,19 / 14)
Passo 1
Temos em R^2 a base canônica beta=(1,0),(0,1) e a base proposta beta' = (2,-1),(4,5). O que queremos é: (a) verificar se beta' realmente gera R^2 e é linearmente independente; (b) construir a matriz de mudança de coordenadas Pbetatobeta' que transforma coordenadas na base canônica em coordenadas na base beta'; e (c) usar essa matriz para obter as coordenadas de v=(5,7) na base beta'.
Passo 2
Para mostrar que beta' é uma base de R^2, basta verificar que seus vetores são linearmente independentes. Podemos calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores. Ou seja,
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, em R^2, dois vetores LI formam uma base. Portanto, beta' é base.
Passo 5
Para achar Pbetatobeta', lembramos que essa matriz satisfaz [v]beta' = Pbetatobeta',[v]beta. Nas coordenadas da base canônica, os vetores e1=(1,0) e e2=(0,1) têm representação trivial em beta. Basta então escrever cada ei como combinação linear dos vetores de beta':
Passo 6
Para e1=(1,0), resolvemos
Passo 7
a(2,-1) + b(4,5) = (1,0)
Passo 8
Isso dá o sistema
Passo 9
2a + 4b = 1, -a + 5b = 0
Passo 10
Da segunda equação vem a = 5b. Substituindo na primeira:
Passo 11
2(5b) + 4b = 1 implies 14b = 1 implies b = tfrac114, a = tfrac514
Passo 12
Logo
Passo 13
[e1]beta' = 5/14 1/14
Passo 14
Para e2=(0,1), fazemos o mesmo:
Passo 15
a(2,-1) + b(4,5) = (0,1)
Passo 16
que leva ao sistema
Passo 17
2a + 4b = 0, -a + 5b = 1
Passo 18
Da segunda equação a = 5b -1. Substituindo na primeira:
Passo 19
2(5b-1) + 4b = 0 implies 14b = 2 implies b = tfrac17, a = -tfrac27
Passo 20
Logo
Passo 21
[e2]beta' = -2/7 1/7
Passo 22
Portanto,
Passo 23
Pbetatobeta' = 5/14 & -2/7 1/14 & 1/7
Passo 24
Agora, para encontrar [v]beta' com v=(5,7) em coordenadas canônicas, basta multiplicar: