Questão 2: Em R^2, considere as bases beta^prime=(2,-1),(4,5) e beta a base canônica de R^2. Determine:
a) Mostre que beta^prime 'é uma base para R^2.
b) Encontre a matriz de transição Pbeta beta^prime R:(ll5 / 14 & -2 / 7 1 / 14 & 1 / 7)
c) Use Pbeta beta^prime para determinar [v]beta^prime onde vbeta=(5,7) [v]beta^prime=(-3 / 14,19 / 14)

Passo 1

Temos em R^2 a base canônica beta=(1,0),(0,1) e a base proposta beta' = (2,-1),(4,5). O que queremos é: (a) verificar se beta' realmente gera R^2 e é linearmente independente; (b) construir a matriz de mudança de coordenadas Pbetatobeta' que transforma coordenadas na base canônica em coordenadas na base beta'; e (c) usar essa matriz para obter as coordenadas de v=(5,7) na base beta'.

Passo 2

Para mostrar que beta' é uma base de R^2, basta verificar que seus vetores são linearmente independentes. Podemos calcular o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores. Ou seja,

Passo 3

det2 & 4 -1 & 5 = (2)(5) - (-1)(4) = 10 + 4 = 14 neq 0

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, em R^2, dois vetores LI formam uma base. Portanto, beta' é base.

Passo 5

Para achar Pbetatobeta', lembramos que essa matriz satisfaz [v]beta' = Pbetatobeta',[v]beta. Nas coordenadas da base canônica, os vetores e1=(1,0) e e2=(0,1) têm representação trivial em beta. Basta então escrever cada ei como combinação linear dos vetores de beta':

Passo 6

Para e1=(1,0), resolvemos

Passo 7

a(2,-1) + b(4,5) = (1,0)

Passo 8

Isso dá o sistema

Passo 9

2a + 4b = 1, -a + 5b = 0

Passo 10

Da segunda equação vem a = 5b. Substituindo na primeira:

Passo 11

2(5b) + 4b = 1 implies 14b = 1 implies b = tfrac114, a = tfrac514

Passo 12

Logo

Passo 13

[e1]beta' = 5/14 1/14

Passo 14

Para e2=(0,1), fazemos o mesmo:

Passo 15

a(2,-1) + b(4,5) = (0,1)

Passo 16

que leva ao sistema

Passo 17

2a + 4b = 0, -a + 5b = 1

Passo 18

Da segunda equação a = 5b -1. Substituindo na primeira:

Passo 19

2(5b-1) + 4b = 0 implies 14b = 2 implies b = tfrac17, a = -tfrac27

Passo 20

Logo

Passo 21

[e2]beta' = -2/7 1/7

Passo 22

Portanto,

Passo 23

Pbetatobeta' = 5/14 & -2/7 1/14 & 1/7

Passo 24

Agora, para encontrar [v]beta' com v=(5,7) em coordenadas canônicas, basta multiplicar:

Passo 25

[v]beta' = Pbetatobeta'5 7

Passo 26

Fazendo as contas:

Passo 27

5/14 & -2/7 1/14 & 1/75 7 = 5/14cdot5 + (-2/7)cdot7 1/14cdot5 + 1/7cdot7 = 25/14 - 14/7 5/14 + 7/7 = -3/14 19/14

Resposta

a) beta' é base pois o determinante dos vetores é 14neq0. b) Pbetatobeta'=5/14 & -2/71/14 & 1/7 c) [v]beta' = (-3/14,,19/14)

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