Questão 1 ( \mathbf{4 , 0} pts): Considere dois anéis de carga localizados nos planos z= \pm z_{0}. Dado que os anéis têm uma densidade linear de carga uniforme, calcule o campo elétrico no ponto de coordenadas (0,0,0), se:
(e) (1,0) O raio do anel localizado em z=z_{0} é r=r_{0}^{+}e a carga total é positiva, e o raio do anel localizado em z=-z_{0} é r=r_{0}^{-}e a carga total é negativa.

Passo 1

O enunciado dá dois anéis de carga no eixo z, um em z=+z_{0} de raio r_{0}^{+} e carga total Q^{+}>0, e outro em z=-z_{0} de raio r_{0}^{-} e carga total Q^{-}<0. Pede-se o campo elétrico em (0,0,0). Vamos usar a expressão do campo de um anel no seu eixo de simetria.

Passo 2

Para um anel de raio R e carga total Q centrado no ponto (0,0,z'), o campo em (0,0,0) ao longo de z é
E_{z} \;=\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q\,(0 - z')}{\bigl[(0 - z')^2 + R^2\bigr]^{3/2}}
e as componentes E_x, E_y se anulam por simetria.

Passo 3

Aplicando ao anel superior ( z'=+z_{0}, R=r_{0}^{+}, Q=Q^{+}):
E_{z}^{+} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{Q^{+}\,(-z_{0})}{\bigl[z_{0}^{2}+(r_{0}^{+})^{2}\bigr]^{3/2}}\,.

Passo 4

Aplicando ao anel inferior ( z'=-z_{0}, R=r_{0}^{-}, Q=Q^{-}):
E_{z}^{-} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \;\frac{Q^{-}\,(+z_{0})}{\bigl[z_{0}^{2}+(r_{0}^{-})^{2}\bigr]^{3/2}}\,.

Passo 5

O campo total em (0,0,0) é a soma vetorial (só há componente z):
E_{z} =E_{z}^{+}+E_{z}^{-} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Biggl[ \frac{Q^{-}\,z_{0}}{\bigl[z_{0}^{2}+(r_{0}^{-})^{2}\bigr]^{3/2}} -\frac{Q^{+}\,z_{0}}{\bigl[z_{0}^{2}+(r_{0}^{+})^{2}\bigr]^{3/2}} \Biggr].

Resposta

\mathbf{E}(0,0,0) =\hat{\mathbf{z}}\;\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \Biggl[ \frac{Q^{-}\,z_{0}}{\bigl[z_{0}^{2}+(r_{0}^{-})^{2}\bigr]^{3/2}} -\frac{Q^{+}\,z_{0}}{\bigl[z_{0}^{2}+(r_{0}^{+})^{2}\bigr]^{3/2}} \Biggr].

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