QUESTÃO 5. (1.2) Considere . Responda cada item,
(a) Determine o valor da constante k para que f(x) seja contínua. Use este valor de k nos itens (b) e (c).
(b) Encontre o valor de x<0 onde a reta y=12 intersecta o gráfico de f.
(c) Diga o número de pontos de interseç̧ão da reta y=c com o gráfico de f, para c=-5000 ; c=13; e c=10.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= e^x, & x<=0,[6pt] dfracx^2-2k, & x>0,
e pede:
(a) achar k para que f seja contínua em x=0;
(b) com esse k, encontrar o(s) x<0 tal que f(x)=tfrac12;
(c) para k encontrado, contar quantos pontos de interseção há entre y=c e o gráfico de f nos casos c=-5000, c=tfrac13 e c=10.
Conteúdos usados: continuidade de função composta por partes, inversa do exponencial e solução de equação quadrática.]
Passo 2
Para continuidade em x=0 precisamos
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)
Do lado esquerdo limxto0^-e^x=e^0=1. Do lado direito
limxto0^+x^2-2k=0^2-2k=-2k
Igualando
-2k=1 Longrightarrow k=-2
Passo 3
Com k=-2, no ramo x<=0 a equação f(x)=tfrac12 vira
e^x=tfrac12,
cuja solução é
x=lnl(tfrac12r)=-ln(2)
Esse valor é realmente menor que zero, logo é o único ponto de interseção para x<0.
Passo 4
Para contar interseções y=c com o gráfico de f, analisamos cada ramo:
1. Ramo x<=0:
,,– Resolvem-se e^x=c, solução x=ln(c) existe se e só se c>0. Além disso precisa ln(c)<=0, ou seja 0<c<=1. Nesse caso há exatamente uma solução.
Isso dá raízes x=pmraiz2-2c. Como precisamos x>0, só conta x=+raiz2-2c, e isso existe se e só se 2-2c>0, ou seja c<1.
Passo 5
Aplicando aos casos:
bul<=t c=-5000:
– No ramo x<=0: como c<0, não há x tal que e^x=-5000.
– No ramo x>0: 2-2c=2-2(-5000)=10002>0, gera x=raiz10002>0, uma única solução.
Total: 1 interseção.
bul<=t c=tfrac13:
– Ramo x<=0: 0<c<1, há x=ln(tfrac13)<0, uma solução.
– Ramo x>0: 2-2c=2-tfrac23=tfrac43>0, gera x=raiztfrac43>0, mais uma solução.
Total: 2 interseções.
bul<=t c=10:
– Ramo x<=0: c>1Longrightarrowln(10)>0 não abre em x<=0, zero soluções.
– Ramo x>0: 2-2c=2-20=-18<0, sem soluções reais.
Total: 0 interseções.
Resposta
(a) -2
(b) x=-ln(2)
(c) número de interseções: para c=-5000 é 1; para c=tfrac13 é 2; para c=10 é 0.