• Questão 3. Considere o campo vetorial dado por \vec{F}=(2 x+z) \vec{i}+2 y \vec{j}+x y \vec{k}.
    (1.0pt) Calcule o fluxo \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{N} d S, onde S é a superfície lateral do cubo unitário de faces x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1 e \vec{N} é o normal unitário voltado para o exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{N}\,dS
através da superfície lateral do cubo unitário, onde
\vec{F}=(2x+z)\,\vec{i}+2y\,\vec{j}+xy\,\vec{k}.
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, e vamos precisar também subtrair os fluxos nas superfícies z=0 e z=1.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\!\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(2x+z) +\frac{\partial}{\partial y}(2y) +\frac{\partial}{\partial z}(xy) =2+2+0=4.
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo total pelas seis faces do cubo é
\iiint_{\text{cubo}}(\nabla\!\cdot\vec{F})\,dV =\iiint_{\text{cubo}}4\,dV =4\cdot1=4.

Passo 3

Agora calculamos o fluxo somente pelas faces z=0 e z=1:
Para z=0, a normal externa é -\vec{k}, e \vec{F}\cdot(-\vec{k})=-xy. Então
\iint_{z=0}\vec{F}\cdot\vec{N}\,dS =-\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}x\,y\,dx\,dy =-\frac{1}{4}.
Para z=1, a normal externa é +\vec{k}, e \vec{F}\cdot\vec{k}=xy. Então
\iint_{z=1}\vec{F}\cdot\vec{N}\,dS =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}x\,y\,dx\,dy =+\frac{1}{4}.

Passo 4

O fluxo pelas faces z=0 e z=1 soma zero:
-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=0.
Logo, o fluxo somente pela superfície lateral é o total menos este somatório:
4-0=4.

Resposta

4

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