Nas séries infinitas dadas, determine a fórmula para \mathrm{S}_{0} em termos de n. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(4 n-3)(4 n+1)}

Passo 1

Denotamos por \mathrm{S}_n o n-ésimo somatório parcial da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{(4k-3)(4k+1)}.
O objetivo é achar fórmula para \mathrm{S}_n em função de n, verificar convergência e, se houver, calcular sua soma.

Passo 2

Vamos usar frações parciais para cada termo genérico
\displaystyle \frac{2}{(4n-3)(4n+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{A}{4n-3} + \frac{B}{4n+1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (4n-3)(4n+1)\) obtemos \[2 = A(4n+1) + B(4n-3).
Comparando coeficientes de n e termo independente:
\begin{cases} 4(A+B)=0 \implies A+B=0,\\\ A - 3B = 2. \end{cases}
Daí B=-A\] e \(4A=2, logo A=\tfrac12 e B=-\tfrac12. Assim
\frac{2}{(4n-3)(4n+1)} = \frac12\Bigl(\frac1{4n-3}-\frac1{4n+1}\Bigr).

Passo 4

O somatório parcial fica
\mathrm{S}_n = \sum_{k=1}^n \frac{2}{(4k-3)(4k+1)} = \frac12 \sum_{k=1}^n \Bigl(\frac1{4k-3}-\frac1{4k+1}\Bigr).
Essa soma telescopa, pois em cada valor de k o termo -1/(4k+1) cancela o +1/(4(k+1)-3). Sobram apenas
\sum_{k=1}^n \Bigl(\frac1{4k-3}-\frac1{4k+1}\Bigr) = 1 - \frac1{4n+1}.
Portanto
\mathrm{S}_n = \frac12\Bigl(1 - \frac1{4n+1}\Bigr).

Passo 5

Para verificar convergência, calculamos
\lim_{n\to\infty}\mathrm{S}_n = \frac12\Bigl(1 - 0\Bigr) = \frac12.
Logo a série é convergente e sua soma vale \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \mathrm{S}_n = \frac12\Bigl(1 - \frac1{4n+1}\Bigr).
A série converge e
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(4n-3)(4n+1)} = \frac12.

Exercícios relacionados