Nas séries infinitas dadas, determine a fórmula para
em termos de
. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
Passo 1
Denotamos por
o
-ésimo somatório parcial da série
O objetivo é achar fórmula para
em função de
, verificar convergência e, se houver, calcular sua soma.
Passo 2
Vamos usar frações parciais para cada termo genérico
.
Procuramos constantes e
tais que
Procuramos constantes
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
Comparando coeficientes de
e termo independente:
Daí
, logo
e
. Assim
Passo 4
O somatório parcial fica
Essa soma telescopa, pois em cada valor de
o termo
cancela o
. Sobram apenas
Portanto
Passo 5
Para verificar convergência, calculamos
Logo a série é convergente e sua soma vale
.
Resposta
A série converge e