Nas séries infinitas dadas, determine a fórmula para \mathrm{S}_{0} em termos de n. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty} \ln \left(\frac{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial \,S_N=\sum_{n=1}^{N}\ln\!\bigl(\tfrac{n+1}{n+2}\bigr) e quer saber se a série infinita é convergente. O conteúdo chave é usar propriedades de logaritmo e perceber que a soma telescopa.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral usando a diferença de logaritmos:
\ln\!\Bigl(\tfrac{n+1}{n+2}\Bigr) =\ln(n+1)-\ln(n+2).

Passo 3

Substituindo na soma parcial, temos
S_N =\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n+1)-\ln(n+2)\bigr].

Passo 4

Essa soma é telescópica, pois os termos internos se cancelam em cadeia:
S_N =(\ln2-\ln3)+(\ln3-\ln4)+\cdots+(\ln(N+1)-\ln(N+2)) =\ln2-\ln(N+2).

Passo 5

Para verificar a convergência, analisamos o limite quando N\to\infty:
S_N=\ln\!\Bigl(\tfrac{2}{N+2}\Bigr)\;\xrightarrow[N\to\infty]{}\;\ln(0^+)=-\infty.
Como o limite da soma parcial não é finito, a série diverge.

Resposta

S_N = \ln\!\Bigl(\tfrac{2}{N+2}\Bigr),
e a série \sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\bigl(\tfrac{n+1}{n+2}\bigr) é divergente.

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