Questão 2 Sejam \vec{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} um campo vetorial e \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva regular no plano. Faça o que se pede:
(a) Mostre que se existe \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} de forma que \vec{F}=\vec{\nabla} \varphi então
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\varphi(\gamma(b))-\varphi(\gamma(a))
Mostre também que, nesse caso, o rotacional de \vec{F} é zero e explique, intuitivamente, o significado do rotacional de um campo vetorial (o que o rotacional mede?).
(b) Considerando o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left((1+x y) e^{x y}, x^{2} e^{x y}\right) e \gamma(t)=(\cos (t), 2 \operatorname{sen}(t)), t \in[0, \pi / 2], calcule a integral de linha de \vec{F} ao longo de \gamma.
(c) Dê alguma interpretação para o número encontrado no item (b). O que acontece com a integral de linha se trocarmos o sentido de percurso de \gamma ?

Passo 1

O enunciado trata de integrais de linha de um campo vetorial \vec F ao longo de uma curva \gamma no plano. Em (a) precisamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos, mostrar que nesse caso o rotacional \nabla\times\vec F é zero e explicar o que o rotacional mede. Em (b) temos um campo particular
\vec F(x,y)=\bigl((1+xy)e^{xy},\,x^2e^{xy}\bigr)
e a curva \gamma(t)=(\cos t,2\sin t), t\in[0,\pi/2], e devemos calcular \displaystyle\int_\gamma\vec F\cdot d\vec r. Em (c) interpretamos fisicamente esse valor e vemos o que muda trocando o sentido de \gamma.

Passo 2

(a) Seja \varphi:\mathbb R^2\to\mathbb R tal que \vec F=\nabla\varphi. Num parâmetro t, \vec r(t)=\gamma(t), temos
\vec F\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot\gamma'(t) =\nabla\varphi\bigl(\gamma(t)\bigr)\cdot\gamma'(t) =\frac{d}{dt}\bigl[\varphi\bigl(\gamma(t)\bigr)\bigr].
Integrando de a a b
\int_a^b\vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt =\varphi\bigl(\gamma(b)\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(a)\bigr),
que é justamente
\int_\gamma\vec F\cdot d\vec r =\varphi(\gamma(b))-\varphi(\gamma(a)).

Passo 3

Ainda em (a), escrevendo \vec F=(P,Q), temos
\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\varphi_y\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\varphi_x\bigr) =\varphi_{yx}-\varphi_{xy}=0.
Ou seja, o rotacional no plano é zero para campos gradiente. Intuitivamente, o rotacional mede a tendência de uma partícula infinitesimal imersa no campo a girar em torno de si mesma: se \nabla\times\vec F=0, não há circulação local.

Passo 4

(b) Primeiro verificamos que \nabla\times\vec F=0:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2e^{xy}\bigr) =2xe^{xy}+x^2y\,e^{xy}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl((1+xy)e^{xy}\bigr) =x\,e^{xy}+(1+xy)x\,e^{xy} =2x e^{xy}+x^2y\,e^{xy}.
Logo o rotacional é zero e \vec F é conservativo. Para encontrar o potencial \varphi, integramos
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =(1+xy)e^{xy} \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y)=\int(1+xy)e^{xy}\,dx =x e^{xy}+C(y).
Derivando em y e igualando a x^2e^{xy} C'(y)=0, então podemos tomar
\varphi(x,y)=x e^{xy}.
Aplicando o resultado de (a) com \gamma(0)=(1,0) e \gamma(\pi/2)=(0,2),
\int_\gamma\vec F\cdot d\vec r =\varphi(0,2)-\varphi(1,0) =0\cdot e^{0}-\bigl(1\cdot e^0\bigr) =-1.

Passo 5

(c) O valor -1 é o trabalho realizado pelo campo \vec F ao deslocar-se pela curva \gamma no sentido dado. Se invertemos o sentido de \gamma, a integral de linha muda de sinal, passando a valer +1, pois
\int_{-\gamma}\vec F\cdot d\vec r =-\int_\gamma\vec F\cdot d\vec r.

Resposta

(a) \displaystyle\int_\gamma\vec F\cdot d\vec r=\varphi(\gamma(b))-\varphi(\gamma(a)), o rotacional é zero e mede a circulação local do campo.
(b) -1
(c) É o trabalho feito pelo campo; invertendo o sentido de \gamma o valor fica +1.

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