Questão 2 Sejam
um campo vetorial e
uma curva regular no plano. Faça o que se pede:
(a) Mostre que se existe
de forma que
então
Mostre também que, nesse caso, o rotacional de
é zero e explique, intuitivamente, o significado do rotacional de um campo vetorial (o que o rotacional mede?).
(b) Considerando o campo vetorial
e
,
, calcule a integral de linha de
ao longo de
.
(c) Dê alguma interpretação para o número encontrado no item (b). O que acontece com a integral de linha se trocarmos o sentido de percurso de
?
(a) Mostre que se existe
(b) Considerando o campo vetorial
(c) Dê alguma interpretação para o número encontrado no item (b). O que acontece com a integral de linha se trocarmos o sentido de percurso de
Passo 1
O enunciado trata de integrais de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
no plano. Em (a) precisamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos, mostrar que nesse caso o rotacional
é zero e explicar o que o rotacional mede. Em (b) temos um campo particular
e a curva
,
, e devemos calcular
. Em (c) interpretamos fisicamente esse valor e vemos o que muda trocando o sentido de
.
Passo 2
(a) Seja
tal que
. Num parâmetro
,
, temos
Integrando de
a
dá
que é justamente
Passo 3
Ainda em (a), escrevendo
, temos
Ou seja, o rotacional no plano é zero para campos gradiente. Intuitivamente, o rotacional mede a tendência de uma partícula infinitesimal imersa no campo a girar em torno de si mesma: se
, não há circulação local.
Passo 4
(b) Primeiro verificamos que
:
Logo o rotacional é zero e
é conservativo. Para encontrar o potencial
, integramos
Derivando em
e igualando a
dá
, então podemos tomar
Aplicando o resultado de (a) com
e
,
Passo 5
(c) O valor
é o trabalho realizado pelo campo
ao deslocar-se pela curva
no sentido dado. Se invertemos o sentido de
, a integral de linha muda de sinal, passando a valer
, pois
Resposta
(a)
, o rotacional é zero e mede a circulação local do campo.
(b)
(c) É o trabalho feito pelo campo; invertendo o sentido de o valor fica
.
(b)
(c) É o trabalho feito pelo campo; invertendo o sentido de