- Questão 1 (0.6 ponto cada item) Considerando a trajetória parametrizada pela seguinte função vetorial:
e a correspondente curva
, está correto:
(A) tangente unitário em
:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) nenhuma das anteriores
(B) aceleração em
:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) nenhuma das anteriores
(C) curvatura em
:
( )
( )
( )
( )
( ) 1
( ) nenhuma das anteriores
(D) torção em
:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) nenhuma das anteriores
(E) aceleração normal em
:
( )
( ) 1
( )
( )
( ) 5
( ) nenhuma das anteriores
(F) aceleração tangencial em
:
( ) 0
( )
( )
( ) 1
( )
( ) nenhuma das anteriores
(G) comprimento da curva
:
( )
( )
( )
( )
( ) nenhuma das anteriores
(A) tangente unitário em
( )
( )
( )
( )
( )
( ) nenhuma das anteriores
(B) aceleração em
( )
( )
( )
( )
( )
( ) nenhuma das anteriores
(C) curvatura em
( )
( )
( )
( )
( ) 1
( ) nenhuma das anteriores
(D) torção em
( )
( )
( )
( )
( )
( ) nenhuma das anteriores
(E) aceleração normal em
( )
( ) 1
( )
( )
( ) 5
( ) nenhuma das anteriores
(F) aceleração tangencial em
( ) 0
( )
( )
( ) 1
( )
( ) nenhuma das anteriores
(G) comprimento da curva
( )
( )
( )
( )
( ) nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado dá a trajetória parametrizada
e pede o versor tangente, aceleração, curvatura, torção, componentes da aceleração e comprimento de arco. Vamos precisar de derivadas sucessivas
,
,
, além de produto vetorial e determinante triple.
Passo 2
Derivando e avaliando em
para achar o versor tangente:
Em
:
Logo o versor tangente é
que coincide com a primeira opção do item (A).
Passo 3
Aceleração em
:
Em
:
, então
Nenhuma das alternativas de (B) tem exatamente só essas componentes, então é “nenhuma das anteriores”.
Passo 4
Curvatura em
:
Como
,
que é a quarta opção de (C).
Passo 5
Torção em
: precisamos de
:
em
:
.
O determinante vale
e
, logo
O determinante
segunda opção de (D).
Passo 6
Componentes da aceleração:
– Normal .
– Tangencial .
Isso dá (opção 2 em E) e
(opção 1 em F).
– Normal
– Tangencial
Isso dá
Passo 7
Comprimento da curva
Nenhuma das integrais sugeridas em (G) está nessa forma, então “nenhuma das anteriores”.
Resposta
(A)
(B) nenhuma das anteriores
(C)
(D)
(E)
(F)
(G) nenhuma das anteriores
(B) nenhuma das anteriores
(C)
(D)
(E)
(F)
(G) nenhuma das anteriores