• Questão 1 (0.6 ponto cada item) Considerando a trajetória parametrizada pela seguinte função vetorial:
\vec{r}(t)=\cos (t) \vec{i}+\operatorname{sen}(t) \vec{j}+\cos (2 t) \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}
e a correspondente curva C, está correto:
(A) tangente unitário em t=\frac{\pi}{4} :
( ) \frac{1}{\sqrt{5}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}+\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}-2 \vec{k}\right)
( ) \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}+\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}-2 \vec{k}\right)
( ) \frac{1}{\sqrt{5}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}-\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}-2 \vec{k}\right)
( ) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}+\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}-2 \vec{k}\right)
( ) -\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}+\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}-2 \vec{k}
( ) nenhuma das anteriores
(B) aceleração em t=\frac{\pi}{4} :
( ) \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}+\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}+\vec{k}
( ) \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}+\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}
( ) -\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}-\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}-4 \vec{k}
( ) -\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}-\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}+4 \vec{k}
( ) -\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}-\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{j}-\vec{k}
( ) nenhuma das anteriores
(C) curvatura em t=\frac{\pi}{4} :
( ) \frac{1}{\sqrt{5}}
( ) \frac{1}{\sqrt{2}}
( ) \sqrt{5}
( ) \frac{1}{5}
( ) 1
( ) nenhuma das anteriores
(D) torção em t=\frac{\pi}{4} :
( ) \frac{6}{\sqrt{5}}
( ) \frac{6}{5}
( ) -\frac{6}{\sqrt{5}}
( ) \frac{1}{5}
( ) \frac{6}{5 \sqrt{5}}
( ) nenhuma das anteriores
(E) aceleração normal em t=\frac{\pi}{4} :
( ) \frac{1}{5}
( ) 1
( ) \sqrt{5}
( ) \frac{1}{\sqrt{5}}
( ) 5
( ) nenhuma das anteriores
(F) aceleração tangencial em t=\frac{\pi}{4} :
( ) 0
( ) \frac{1}{\sqrt{5}}
( ) \frac{1}{5}
( ) 1
( ) \frac{1}{5 \sqrt{5}}
( ) nenhuma das anteriores
(G) comprimento da curva C :
( ) L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(2 t)} d t
( ) L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\operatorname{sen}^{2}(2 t)\right)^{3 / 2} d t
( ) L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+4 \operatorname{sen}^{2}(2 t)\right)^{3 / 2} d t
( ) L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+2 \operatorname{sen}(2 t)) d t
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a trajetória parametrizada
\vec r(t)=\cos(t)\,\vec i+\sin(t)\,\vec j+\cos(2t)\,\vec k,\quad 0\le t\le\tfrac{\pi}{2},
e pede o versor tangente, aceleração, curvatura, torção, componentes da aceleração e comprimento de arco. Vamos precisar de derivadas sucessivas \vec v=\vec r\,', \vec a=\vec v', \vec j=\vec a', além de produto vetorial e determinante triple.

Passo 2

Derivando e avaliando em t=\pi/4 para achar o versor tangente:
\vec v(t)= -\sin(t)\,\vec i +\cos(t)\,\vec j -2\sin(2t)\,\vec k.
Em t=\pi/4:
\vec v\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\tfrac{\sqrt2}{2}\,\vec i+\tfrac{\sqrt2}{2}\,\vec j-2\,\vec k, \quad \|\vec v\|=\sqrt{\tfrac12+\tfrac12+4}=\sqrt5.
Logo o versor tangente é
\vec T=\frac{\vec v}{\|\vec v\|} =\frac{1}{\sqrt5}\Bigl(-\tfrac{\sqrt2}{2}\,\vec i+\tfrac{\sqrt2}{2}\,\vec j-2\,\vec k\Bigr),
que coincide com a primeira opção do item (A).

Passo 3

Aceleração em t=\pi/4:
\vec a(t)=\vec v'(t) =-\cos(t)\,\vec i-\sin(t)\,\vec j-4\cos(2t)\,\vec k.
Em t=\pi/4: \cos(2t)=\cos(\pi/2)=0, então
\vec a\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\tfrac{\sqrt2}{2}\,\vec i -\tfrac{\sqrt2}{2}\,\vec j.
Nenhuma das alternativas de (B) tem exatamente só essas componentes, então é “nenhuma das anteriores”.

Passo 4

Curvatura em t=\pi/4:
\vec v\times\vec a = (-\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2},\;-2) \times (-\tfrac{\sqrt2}{2},\;-\tfrac{\sqrt2}{2},\;0) =(-\sqrt2,\;\sqrt2,\;1), \quad \|\vec v\times\vec a\|=\sqrt5.
Como \|\vec v\|^3=(\sqrt5)^3=5\sqrt5,
\kappa=\frac{\|\vec v\times\vec a\|}{\|\vec v\|^3} =\frac{\sqrt5}{5\sqrt5}=\frac15,
que é a quarta opção de (C).

Passo 5

Torção em t=\pi/4: precisamos de \vec j=\vec a'(t):
\vec j(t) =\sin(t)\,\vec i-\cos(t)\,\vec j+8\sin(2t)\,\vec k,
em t=\pi/4: \vec j=(\tfrac{\sqrt2}{2},\,-\tfrac{\sqrt2}{2},\,8).
O determinante \det[\vec v,\vec a,\vec j] vale 6 e \|\vec v\times\vec a\|^2=5, logo
\tau=\frac{\det[\vec v,\vec a,\vec j]}{\|\vec v\times\vec a\|^2} =\frac6{5},
segunda opção de (D).

Passo 6

Componentes da aceleração:
– Normal a_N=\kappa\|\vec v\|^2=\tfrac15\cdot5=1.
– Tangencial a_T=\frac{\vec v\cdot\vec a}{\|\vec v\|}=\frac{0}{\sqrt5}=0.
Isso dá a_N=1 (opção 2 em E) e a_T=0 (opção 1 em F).

Passo 7

Comprimento da curva
L=\int_{0}^{\frac\pi2}\|\vec v(t)\|\,dt =\int_{0}^{\frac\pi2}\sqrt{1+4\sin^2(2t)}\,dt.
Nenhuma das integrais sugeridas em (G) está nessa forma, então “nenhuma das anteriores”.

Resposta

(A) \frac{1}{\sqrt{5}}\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,\vec i+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,\vec j-2\,\vec k\bigr)
(B) nenhuma das anteriores
(C) \tfrac{1}{5}
(D) \tfrac{6}{5}
(E) 1
(F) 0
(G) nenhuma das anteriores

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