Questão 3. A força total que atua sobre uma partícula de massa m e que se move ao longo do eixo O X é dada por F(t)=F_{0} \operatorname{sen}(\omega t), onde F_{0} e \omega são constantes positivas. Em t=0 a partícula está em repouso na origem.
Considere as seguintes afirmativas:
(I) O movimento da partícula corresponde a uma oscilação em torno da origem com frequência idêntica à da força externa.
(II) A velocidade média da partícula em um período de oscilação da força vale \mathrm{F}_{0} /(\mathrm{m} \omega).
Podemos afirmar que são verdadeiras:
(a) as afirmativas I e II.
(b) nem a afirmativa I nem a II.
(c) apenas a afirmativa I.
(d) apenas a afirmativa II.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m que se move ao longo do eixo OX sob a ação de uma força externa
F(t)=F_{0}\sin(\omega t),
com F_{0} e \omega constantes positivas, e condições iniciais x(0)=0, v(0)=0.
O conteúdo usado será a segunda lei de Newton m\,x''=F e integração para obter v(t) e x(t), além de análise de oscilação e cálculo de velocidade média em um período.

Passo 2

Aplicamos a segunda lei de Newton:
m\,x''(t)=F_{0}\sin(\omega t).
Integrando uma vez e usando v(0)=0 obtemos
v(t)=x'(t)=\frac{F_{0}}{m\omega}\bigl(1-\cos(\omega t)\bigr).
Integrando novamente e usando x(0)=0 resulta
x(t)=\frac{F_{0}}{m\omega}\,t \;-\;\frac{F_{0}}{m\omega^{2}}\sin(\omega t).

Passo 3

Observando x(t), há um termo linear em t,
x(t)=\frac{F_{0}}{m\omega}\,t -\frac{F_{0}}{m\omega^{2}}\sin(\omega t),
o que faz o movimento não ser uma oscilação limitada em torno da origem. Logo, a afirmativa (I) é falsa.

Passo 4

O período da força é T=2\pi/\omega. A velocidade média em um período vale
\bar v=\frac{x(T)-x(0)}{T} =\frac{\frac{F_{0}}{m\omega}\,T}{T} =\frac{F_{0}}{m\omega}.
Portanto, a afirmativa (II) é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que apenas a afirmativa (II) é verdadeira.

Resposta

(d) apenas a afirmativa II.

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