Questão 6) Suponha que estejamos trabalhando no \mathbb{R}_{+}^{3} e um consumidor com as seguintes funções de demanda x(p, w) :
x_{1}(p, w)=\frac{p_{2}}{p_{3}}, \quad x_{2}(p, w)=\frac{p_{1}}{p_{3}}, \quad x_{3}(p, w)=\frac{w}{p_{3}}
a) Demostre que x(p, w) satisfaz a Lei de Walras (Valor: 1,0 ).
b) Encontre a matriz de Slutsky (Valor: 1,0).

Passo 1

O enunciado dá as funções de demanda no \mathbb{R}_{+}^{3}
x_{1}(p,w)=\frac{p_{2}}{p_{3}},\quad x_{2}(p,w)=\frac{p_{1}}{p_{3}},\quad x_{3}(p,w)=\frac{w}{p_{3}},
e pede:
a) verificar a Lei de Walras, ou seja mostrar se
p_{1}x_{1}(p,w)+p_{2}x_{2}(p,w)+p_{3}x_{3}(p,w)\;=\;w;
b) calcular a matriz de Slutsky
S_{ij}(p,w) =\frac{\partial x_{i}}{\partial p_{j}} +\frac{\partial x_{i}}{\partial w}\,x_{j}(p,w).

Passo 2

Calculemos o valor agregado gasto:
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+p_{3}x_{3} =p_{1}\frac{p_{2}}{p_{3}} +p_{2}\frac{p_{1}}{p_{3}} +p_{3}\frac{w}{p_{3}} =\frac{p_{1}p_{2}}{p_{3}} +\frac{p_{1}p_{2}}{p_{3}} +w = w \;+\;2\,\frac{p_{1}p_{2}}{p_{3}}.
Portanto, em geral
p\cdot x(p,w)=w+2\,\frac{p_{1}p_{2}}{p_{3}}\neq w,
logo essas funções de demanda não satisfazem a Lei de Walras, salvo no caso degenerado p_{1}p_{2}=0.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais necessárias para a matriz de Slutsky.
Para i=1: \displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial p} =\bigl(0,\;1/p_{3},\;-\,p_{2}/p_{3}^{2}\bigr), \displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial w}=0.
Para i=2: \displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial p} =\bigl(1/p_{3},\;0,\;-\,p_{1}/p_{3}^{2}\bigr), \displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial w}=0.
Para i=3: \displaystyle\frac{\partial x_{3}}{\partial p} =\bigl(0,\;0,\;-\,w/p_{3}^{2}\bigr), \displaystyle\frac{\partial x_{3}}{\partial w}=1/p_{3}.

Passo 4

Usando
S_{ij} =\frac{\partial x_{i}}{\partial p_{j}} +\frac{\partial x_{i}}{\partial w}\,x_{j},
obtemos a matriz S=(S_{ij})_{i,j=1}^{3}:
S =\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{p_{3}} & -\,\tfrac{p_{2}}{p_{3}^{2}}\\\ \tfrac{1}{p_{3}} & 0 & -\,\tfrac{p_{1}}{p_{3}^{2}}\\[6pt] \tfrac{p_{2}}{p_{3}^{2}} & \tfrac{p_{1}}{p_{3}^{2}} & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

a) As demandas não satisfazem a Lei de Walras, pois \;p\cdot x(p,w)=w+2\,\tfrac{p_{1}p_{2}}{p_{3}}\neq w.
b) A matriz de Slutsky é
\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{p_{3}} & -\,\tfrac{p_{2}}{p_{3}^{2}}\\\ \tfrac{1}{p_{3}} & 0 & -\,\tfrac{p_{1}}{p_{3}^{2}}\\[6pt] \tfrac{p_{2}}{p_{3}^{2}} & \tfrac{p_{1}}{p_{3}^{2}} & 0 \end{pmatrix}.]

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