Questão 2: Considere o conjunto \mathbb{Q} munido das seguintes operações:
x \oplus y=x+y-1 \quad \text { e } \quad x \otimes y=x+y-x y
para quaisquer x, y \in \mathbb{Q}. Considere as perguntas:
A) (\mathbb{Q}, \oplus, \otimes) é um anel?
B) Investigue se (\mathbb{Q}, \oplus, \otimes) é um corpo.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{Q} duas operações
x\oplus y = x+y-1, \qquad x\otimes y = x+y - x\,y
e pede (A) mostrar que \bigl(\mathbb{Q},\oplus,\otimes\bigr) é um anel e (B) investigar se é corpo. Para isso precisaremos verificar que
  • (\mathbb{Q},\oplus) é grupo abeliano (identidade, inverso, associatividade e comutatividade);
  • (\mathbb{Q},\otimes) é monóide abeliano e distribui sobre \oplus;
  • há identidade multiplicativa;
  • em seguida, ver se todo elemento diferente do zero aditivo tem inverso multiplicativo.

Passo 2

Mostrar que (\mathbb{Q},\oplus) é grupo abeliano.
  1. Associatividade:
(x\oplus y)\oplus z = (x+y-1)+z-1 = x+y+z-2 = x+(y+z-1)-1 = x\oplus(y\oplus z).
  1. Comutatividade segue de x+y=y+x.
  2. Identidade aditiva e satisfaz e\oplus x=x, ou seja
e + x - 1 = x \;\Longrightarrow\; e = 1.
  1. Inverso de x: buscar y tal que x\oplus y=1.
x + y -1 = 1 \;\Longrightarrow\; y = 2 - x.
Logo (\mathbb{Q},\oplus) é grupo abeliano com zero igual a 1 e inverso de x igual a 2-x.

Passo 3

Mostrar que (\mathbb{Q},\otimes) é monóide abeliano e que \otimes distribui sobre \oplus.
  1. Observe que
x\otimes y = x+y-xy = 1 - (1-x)(1-y).
Como a fórmula 1-(1-x)(1-y) herda a associatividade e a comutatividade do produto usual em \mathbb{Q}, segue que \otimes é associativo e comutativo.
2. Elemento neutro multiplicativo u satisfaz u\otimes x = x:
u + x - u\,x = x \;\Longrightarrow\; u(1-x)=0 \;\Longrightarrow\; u=0.
  1. Distributividade (exemplo da esquerda; a da direita é análoga):
x\otimes(y\oplus z) = x + (y+z-1) - x(y+z-1) = x+y+z-1 - xy - xz + x = (x+y-xy)+(x+z-xz)-1 = (x\otimes y)\oplus(x\otimes z).

Passo 4

Concluímos que \bigl(\mathbb{Q},\oplus,\otimes\bigr) é um anel comutativo com unidade:
  • zero aditivo é 1;
  • unidade multiplicativa é 0;
  • as propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade foram verificadas.

Passo 5

Para ser corpo, todo elemento x\neq zero aditivo (isto é, x\neq1) deve ter inverso multiplicativo. Procuramos y tal que
x\otimes y = 0 \;\Longrightarrow\; x + y - x\,y = 0 \;\Longrightarrow\; y(1-x) = -x \;\Longrightarrow\; y = \frac{-x}{1-x} = \frac{x}{x-1}.
Esse y existe e é racional sempre que x\neq1. Logo todo x\neq1 é invertível em \otimes e o anel é corpo.

Resposta

A) Sim, \bigl(\mathbb{Q},\oplus,\otimes\bigr) é um anel comutativo com unidade.
B) Sim, é corpo, pois todo x\neq1 tem inverso multiplicativo dado por x^{\otimes-1} = x/(x-1).

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