Questão 2: Considere o conjunto
munido das seguintes operações:
para quaisquer
. Considere as perguntas:
A)
é um anel?
B) Investigue se
é um corpo.
A)
B) Investigue se
Passo 1
O enunciado define em
duas operações
e pede (A) mostrar que
é um anel e (B) investigar se é corpo. Para isso precisaremos verificar que
-
é grupo abeliano (identidade, inverso, associatividade e comutatividade); -
é monóide abeliano e distribui sobre ; - há identidade multiplicativa;
- em seguida, ver se todo elemento diferente do zero aditivo tem inverso multiplicativo.
Passo 2
Mostrar que
é grupo abeliano.
- Associatividade:
- Comutatividade segue de
. - Identidade aditiva
satisfaz , ou seja
- Inverso de
: buscar tal que .
Logo
é grupo abeliano com zero igual a
e inverso de
igual a
.
Passo 3
Mostrar que
é monóide abeliano e que
distribui sobre
.
- Observe que
Como a fórmula
herda a associatividade e a comutatividade do produto usual em
, segue que
é associativo e comutativo.
2. Elemento neutro multiplicativo satisfaz
:
2. Elemento neutro multiplicativo
- Distributividade (exemplo da esquerda; a da direita é análoga):
Passo 4
Concluímos que
é um anel comutativo com unidade:
- zero aditivo é
; - unidade multiplicativa é
; - as propriedades de associatividade, comutatividade e distributividade foram verificadas.
Passo 5
Para ser corpo, todo elemento
zero aditivo (isto é,
) deve ter inverso multiplicativo. Procuramos
tal que
Esse
existe e é racional sempre que
. Logo todo
é invertível em
e o anel é corpo.
Resposta
A) Sim,
é um anel comutativo com unidade.
B) Sim, é corpo, pois todo tem inverso multiplicativo dado por
.
B) Sim, é corpo, pois todo