Questão 4: Seja
um número primo. Considere o conjunto
munido das seguintes operações:
para quaisquer
. Prove que (
) é um corpo. O resultado continuaria válido se considerássemos
?
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
Queremos mostrar que
é um corpo, isto é, que é um anel comutativo com unidade em que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
Passo 2
Primeiro verificamos que
é um grupo abeliano.
- Fechamento: Se
, então também está em . - Associatividade e comutatividade seguem da associatividade e comutatividade em
. - Elemento neutro:
satisfaz
- Inverso aditivo: Para
, o inverso é , pois
Passo 3
Agora
é um monóide comutativo com unidade.
- Fechamento: Se
, então
. - Associatividade e comutatividade seguem da multiplicação em
. - Unidade multiplicativa:
pois para todo
,
Passo 4
Distributividade: Para quaisquer
vale
porque ao expandir os termos e recolher coeficientes de
e
obtemos exatamente a soma dos produtos em
.
Passo 5
Existe inverso multiplicativo para todo elemento não nulo. Seja
. Então
e
não são ambos zero, e consideramos
Note que
, pois se fosse zero teríamos
com
primo, o que implicaria
e então
, contradizendo
. Além disso, como
, tem-se
Verifica-se diretamente que
Resposta
Portanto
é um corpo.
Se em vez de
usássemos
, ou seja,
, muitos elementos (por exemplo
) teriam inverso com denominador não inteiro, logo o inverso não estaria em
. Assim
não é corpo.