Questão 4: Seja p \geq 2 um número primo. Considere o conjunto \mathbb{Q}[\sqrt{p}]=\{x+y \sqrt{p}: x, y \in \mathbb{Q}\} munido das seguintes operações:
\begin{aligned} & (x+y \sqrt{p}) \oplus(z+w \sqrt{p})=(x+z)+(y+w) \sqrt{p} \\\ & \mathrm{e} \\\ & (x+y \sqrt{p}) \otimes(z+w \sqrt{p})=(x z+p y w)+(x w+y z) \sqrt{p} \end{aligned}
para quaisquer x+y \sqrt{p}, z+w \sqrt{p} \in \mathbb{Q}[\sqrt{p}]. Prove que ( \mathbb{Q}[\sqrt{p}], \otimes, \otimes ) é um corpo. O resultado continuaria válido se considerássemos \mathbb{Z}[\sqrt{p}] ?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
\mathbb{Q}[\sqrt{p}] = \{\,x + y\sqrt{p} : x,y\in\mathbb{Q}\}
com as operações
(x+y\sqrt{p}) \oplus (z+w\sqrt{p}) = (x+z) + (y+w)\sqrt{p},
(x+y\sqrt{p}) \otimes (z+w\sqrt{p}) = (xz + p\,yw) + (xw + yz)\sqrt{p}.
Queremos mostrar que (\mathbb{Q}[\sqrt{p}],\oplus,\otimes) é um corpo, isto é, que é um anel comutativo com unidade em que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.

Passo 2

Primeiro verificamos que (\mathbb{Q}[\sqrt{p}],\oplus) é um grupo abeliano.
  1. Fechamento: Se x,y,z,w\in\mathbb{Q}, então (x+y\sqrt{p})\oplus(z+w\sqrt{p})=(x+z)+(y+w)\sqrt{p} também está em \mathbb{Q}[\sqrt{p}].
  2. Associatividade e comutatividade seguem da associatividade e comutatividade em \mathbb{Q}.
  3. Elemento neutro: 0 = 0 + 0\sqrt{p} satisfaz
(x+y\sqrt{p})\oplus 0 = x+y\sqrt{p}.
  1. Inverso aditivo: Para x+y\sqrt{p}, o inverso é (-x)+(-y)\sqrt{p}, pois
(x+y\sqrt{p})\oplus\bigl((-x)+(-y)\sqrt{p}\bigr) = 0.

Passo 3

Agora (\mathbb{Q}[\sqrt{p}],\otimes) é um monóide comutativo com unidade.
  1. Fechamento: Se x,y,z,w\in\mathbb{Q}, então
    \,(xz + p\,yw) + (xw+yz)\sqrt{p}\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}].
  2. Associatividade e comutatividade seguem da multiplicação em \mathbb{Q}.
  3. Unidade multiplicativa:
1 = 1 + 0\sqrt{p},
pois para todo x+y\sqrt{p},
(1+0\sqrt{p})\otimes(x+y\sqrt{p}) = x+y\sqrt{p}.

Passo 4

Distributividade: Para quaisquer a,b,c\in\mathbb{Q}[\sqrt{p}] vale
a\otimes(b\oplus c) = a\otimes b \;\oplus\; a\otimes c,
porque ao expandir os termos e recolher coeficientes de 1 e \sqrt{p} obtemos exatamente a soma dos produtos em \mathbb{Q}.

Passo 5

Existe inverso multiplicativo para todo elemento não nulo. Seja u = x+y\sqrt{p}\neq 0. Então x e y não são ambos zero, e consideramos
u^{-1} \;=\; \frac{x - y\sqrt{p}}{x^2 - p\,y^2}.
Note que x^2 - p\,y^2\neq 0, pois se fosse zero teríamos x^2 = p\,y^2 com p primo, o que implicaria y=0 e então x=0, contradizendo u\neq0. Além disso, como x,y\in\mathbb{Q}, tem-se
\frac{x - y\sqrt{p}}{x^2 - p\,y^2}\;\in\;\mathbb{Q}[\sqrt{p}].
Verifica-se diretamente que
u\otimes u^{-1} = 1 + 0\sqrt{p}.

Resposta

Portanto (\mathbb{Q}[\sqrt{p}],\oplus,\otimes) é um corpo.
Se em vez de \mathbb{Q} usássemos \mathbb{Z}, ou seja, \mathbb{Z}[\sqrt{p}], muitos elementos (por exemplo 2+\sqrt{p}) teriam inverso com denominador não inteiro, logo o inverso não estaria em \mathbb{Z}[\sqrt{p}]. Assim \mathbb{Z}[\sqrt{p}] não é corpo.

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