Questão 1: Considere o conjunto
munido das seguintes operações:
para quaisquer
. Prove que as operações * e
são associativas e que vale a distributividade de
por
.
Passo 1
O enunciado define em
duas operações binárias
e pede para mostrar que cada uma é associativa e que vale a distributividade de
sobre
. Lembrando:
– uma operação é associativa se
– uma operação
para todos
.
– distribui sobre
se
–
Passo 2
Associatividade de
.
Calculemos primeiro
Calculemos primeiro
Por outro lado
Como ambas dão
, concluímos
Passo 3
Associatividade de
.
Começamos por
Começamos por
Observe que
Logo
De modo análogo, calculando
chega-se à mesma expressão. Portanto
Passo 4
Distributividade de
sobre
.
Primeiro calculemos :
Primeiro calculemos
Agora calculemos
:
Portanto
Resposta
As operações
e
são associativas e vale a distributividade de
sobre
, ou seja, para todos