Questão 1: Considere o conjunto \mathbb{Q} munido das seguintes operações:
x * y=x+y-3 \quad \text { e } \quad x \triangle y=x+y-\frac{x y}{3}
para quaisquer x, y \in \mathbb{Q}. Prove que as operações * e \triangle são associativas e que vale a distributividade de * por \triangle.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{Q} duas operações binárias
x*y = x + y - 3
x \triangle y = x + y - \frac{xy}{3}
e pede para mostrar que cada uma é associativa e que vale a distributividade de \triangle sobre *. Lembrando:
– uma operação \circ é associativa se
(x\circ y)\circ z \;=\; x\circ(y\circ z)
para todos x,y,z.
\triangle distribui sobre * se
x\triangle(y*z) \;=\;(x\triangle y)*(x\triangle z).

Passo 2

Associatividade de *.
Calculemos primeiro
(x*y)*z = (x+y-3)+z-3 = x+y+z-6.
Por outro lado
x*(y*z) = x+(y+z-3)-3 = x+y+z-6.
Como ambas dão x+y+z-6, concluímos
(x*y)*z = x*(y*z).

Passo 3

Associatividade de \triangle.
Começamos por
(x\triangle y)\triangle z = \Bigl(x+y-\tfrac{xy}{3}\Bigr) + z \;-\; \frac{\bigl(x+y-\tfrac{xy}{3}\bigr)\,z}{3}.
Observe que
(x+y-\tfrac{xy}{3})+z = x+y+z-\tfrac{xy}{3},
\frac{(x+y-\tfrac{xy}{3})\,z}{3} = \frac{xz + yz - \tfrac{xyz}{3}}{3} = \frac{xz}{3} + \frac{yz}{3} - \frac{xyz}{9}.
Logo
(x\triangle y)\triangle z = x+y+z - \frac{xy}{3} - \frac{xz}{3} - \frac{yz}{3} + \frac{xyz}{9}.
De modo análogo, calculando x\triangle(y\triangle z) chega-se à mesma expressão. Portanto
(x\triangle y)\triangle z = x\triangle(y\triangle z).

Passo 4

Distributividade de \triangle sobre *.
Primeiro calculemos x\triangle(y*z):
x\triangle(y*z) = x + (y+z-3) - \frac{x\,(y+z-3)}{3} = x+y+z-3 - \frac{xy + xz -3x}{3}
= x+y+z-3 - \frac{xy}{3} - \frac{xz}{3} + x = 2x+y+z-3 - \frac{xy}{3} - \frac{xz}{3}.
Agora calculemos (x\triangle y)*(x\triangle z):
(x\triangle y)*(x\triangle z) = \Bigl(x+y-\tfrac{xy}{3}\Bigr) + \Bigl(x+z-\tfrac{xz}{3}\Bigr) -3 = 2x+y+z-3 - \frac{xy}{3} - \frac{xz}{3}.
Portanto
x\triangle(y*z) = (x\triangle y)*(x\triangle z).

Resposta

As operações * e \triangle são associativas e vale a distributividade de \triangle sobre *, ou seja, para todos x,y,z\in\mathbb{Q}
(x*y)*z = x*(y*z), \quad (x\triangle y)\triangle z = x\triangle(y\triangle z), \quad x\triangle(y*z) = (x\triangle y)*(x\triangle z).

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