(1,0) Questão 5. Dê exemplo de um vetor \vec{w} que seja ortogonal a \vec{v}=(-1,2,1) e tenha norma |\vec{w}|=5.

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec w tal que ele seja ortogonal a
\vec v = (-1,2,1)
e tenha norma |\vec w|=5.
Para isso vamos usar dois fatos básicos de álgebra vetorial:
  1. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
  2. Para ajustar a norma de um vetor usamos o fator de escala adequado.

Passo 2

Primeiro encontramos um vetor não nulo \vec u que seja ortogonal a \vec v.
Basta escolher \vec u=(u_1,u_2,u_3) e impor
\vec v\cdot\vec u = (-1)\,u_1 + 2\,u_2 + 1\,u_3 = 0.
Uma escolha simples é tomar u_1=0 e u_2=1. Daí a equação vira
-1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 1\cdot u_3 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 2 + u_3 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; u_3 = -2.
Logo podemos usar
\vec u = (0,\,1,\,-2),
que satisfaz \vec v\cdot\vec u=0.

Passo 3

Agora ajustamos a norma de \vec u para ficar igual a 5.
Primeiro calculemos \bigl|\vec u\bigr|:
\bigl|\vec u\bigr| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
Para obter um vetor de norma 5, basta multiplicar \vec u pelo escalar
\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}.
Definimos então
\vec w = \sqrt{5}\,\vec u = \sqrt{5}\,(0,\,1,\,-2) = \bigl(0,\,\sqrt{5},\,-2\sqrt{5}\bigr).

Resposta

\displaystyle \vec w = \bigl(0,\,\sqrt{5},\,-2\sqrt{5}\bigr),
pois \vec v\cdot\vec w=0 e \bigl|\vec w\bigr|=5.

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