Questão 2 Considere o conjunto de vetores em .
a) Verifique se os vetores de são linearmente independentes.
b) Determine se forma uma base de .
c) Qual é a dimensão do subespaço gerado por ?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
onde
O conteúdo aqui é independência linear, base e dimensão de subespaço em . Vamos usar o critério do determinante para verificar independência de três vetores em , depois concluir sobre base e dimensão.
Passo 2
Colocamos como colunas de uma matriz . O critério diz que em três vetores são linearmente independentes se, e somente se,
Reparemos no sinal: o menor de a11 é det!1 & -1-1 & 3=1cdot3 -(-1)cdot(-1)=3-1=2,
então det(A)=1cdot2 + 2cdot(-2)=2-4=-2.
Como det(A)neq 0, concluímos que v1,v2,v3 são linearmente independentes.
Passo 4
Da etapa anterior temos det(A)=-2neq0. Logo, os vetores de S são linearmente independentes. Em R^3, um conjunto de três vetores linearmente independentes forma base do espaço. Portanto, S é uma base de R^3.
Passo 5
O subespaço gerado por S é todo R^3, cuja dimensão é o número de vetores de uma base, isto é,
dim(span(S)) = 3
Resposta
a) Os vetores de S são linearmente independentes.
b) Sim, S forma base de R^3.
c) A dimensão do subespaço gerado por S é 3.