Questão 2 Considere o conjunto de vetores S=(1,0,2),(0,1,-1),(2,1,3) em R^3.
a) Verifique se os vetores de S são linearmente independentes.
b) Determine se S forma uma base de R^3.
c) Qual é a dimensão do subespaço gerado por S ?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = v1, v2, v3 em R^3,
onde
v1 = (1,0,2), v2 = (0,1,-1), v3 = (2,1,3)
O conteúdo aqui é independência linear, base e dimensão de subespaço em R^3. Vamos usar o critério do determinante para verificar independência de três vetores em R^3, depois concluir sobre base e dimensão.

Passo 2

Colocamos v1,v2,v3 como colunas de uma matriz A. O critério diz que em R^3 três vetores são linearmente independentes se, e somente se,
det(A)neq 0
Aqui
A = 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 2 & -1 & 3

Passo 3

Calculamos
det(A) =1cdotdet!1 & -1-1 & 3 -0cdot(cdots) +2cdotdet!0 & 12 & -1
Isso é
1,(1cdot3 - (-1)cdot(-1)) + 2,(0cdot(-1) - 1cdot2) =1,(3 -1) + 2,(-2) =2 -4 =-2ou seja, det(A)= -2?
Reparemos no sinal: o menor de a11 é
det!1 & -1-1 & 3=1cdot3 -(-1)cdot(-1)=3-1=2,
então
det(A)=1cdot2 + 2cdot(-2)=2-4=-2.
Como det(A)neq 0, concluímos que v1,v2,v3 são linearmente independentes.

Passo 4

Da etapa anterior temos det(A)=-2neq0. Logo, os vetores de S são linearmente independentes. Em R^3, um conjunto de três vetores linearmente independentes forma base do espaço. Portanto, S é uma base de R^3.

Passo 5

O subespaço gerado por S é todo R^3, cuja dimensão é o número de vetores de uma base, isto é,
dim(span(S)) = 3

Resposta

a) Os vetores de S são linearmente independentes.
b) Sim, S forma base de R^3.
c) A dimensão do subespaço gerado por S é 3.

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