Questão 5 Considere o corpo dos reais.
Qual a representação do polinômio p=(x+2)^2 na base H=x^2, x^2+x, x^2+x+1 ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos representar o polinômio
,p=(x+2)^2=x^2+4x+4
na base
H=,x^2,;x^2+x,;x^2+x+1
do espaço dos polinômios de grau <=2.

Passo 2

Assumimos que existe uma combinação linear
p = a,(x^2) ;+; b,(x^2+x) ;+; c,(x^2+x+1)
para certos escalares a,b,c.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos semelhantes, obtemos
p = (a+b+c),x^2 ;+; (b+c),x ;+; c
Como também sabemos que p = x^2+4x+4, devemos igualar coeficientes.

Passo 4

Comparando coeficientes de x^2, x e termo constante, formamos o sistema
a + b + c = 1
b + c = 4
c = 4
Da terceira equação vem ,c=4. Substituindo na segunda, b+4=4 leva a b=0. Finalmente, da primeira a+0+4=1 resulta a=-3.

Passo 5

Portanto as coordenadas de p na base H são
(a,b,c)=(-3,0,4)
e podemos escrever
p = -3,(x^2) ;+; 0,(x^2+x) ;+; 4,(x^2+x+1)

Resposta

As coordenadas de p em relação à base H são (-3,,0,,4).

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