Questão 1 Verifique se os subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=R^2, W=(x, y) in V ; x=-2 y;

Passo 1

O enunciado define V=R^2 e o subconjunto
W=(x,y)in V mid x=-2y
O objetivo é verificar se W é subespaço de V (usando: contém o zero, fechado em soma e multiplicação escalar) e, se for, exibir uma base.

Passo 2

Verificamos o vetor zero: (0,0) satisfaz 0=-2cdot0, logo (0,0)in W. Seja agora (x1,y1),(x2,y2)in W e alpha,betainR. Então
x1=-2y1, x2=-2y2
implica
alpha(x1,y1)+beta(x2,y2) =(alpha x1+beta x2,;alpha y1+beta y2)
e
alpha x1+beta x2 =alpha(-2y1)+beta(-2y2) =-2(alpha y1+beta y2),
logo a combinação linear também satisfaz a equação x=-2y.

Passo 3

Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço de V. Além disso, todo (x,y)in W pode ser escrito como
(x,y)=( -2y,y)=y,(-2,1),
isto é,
W=span(-2,1)

Passo 4

Um conjunto gerador minimal de W é (-2,1) e este vetor é não-nulo, logo forma uma base de W.

Resposta

Uma base de W é (-2,1).

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