com a>0 e k \in \mathbb{N}. A área de uma pétala dessa rosácea é igual a
(A) \frac{a^{2} \pi}{2 k}
(B) \frac{a^{2} \pi}{4 k}
(C) \frac{a^{2} \pi}{8 k}
(D) \frac{a^{2} \pi}{4}
(E) \frac{a^{2} \pi}{2}
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado dá a curva polar
r = a \cos(k\theta),
com a>0 e k\in\mathbb{N}. Pergunta-se a área de uma pétala dessa rosácea; as alternativas são:
(A) \dfrac{a^{2}\pi}{2k} \quad (B) \dfrac{a^{2}\pi}{4k} \quad (C) \dfrac{a^{2}\pi}{8k} \quad (D) \dfrac{a^{2}\pi}{4} \quad (E) \dfrac{a^{2}\pi}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão polar da curva é r=a\cos(k\theta).
Queremos a área de uma única pétala (ou seja, a área de um lóculo isolado da curva).
a é positivo; k é inteiro natural.
Passo 2
A fórmula que usamos para área em coordenadas polares é esta:
Explicando essa fórmula de forma simples: um pequeno setor polar entre \theta e \theta+d\theta tem área aproximada \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta. Somando (integrando) esses setores sobre o ângulo que descreve a pétala obtemos a área total da pétala. Aqui r(\theta) é o raio em função do ângulo e \theta_1,\theta_2 são os ângulos que delimitam a pétala.
Passo 3
Precisamos escolher os limites \theta_1,\theta_2 que percorrem exatamente uma pétala, isto é, entre dois zeros consecutivos de r onde r passa de zero, sobe e volta a zero. As raízes de r ocorrem quando \cos(k\theta)=0. Assim:
Entre zeros consecutivos \cos(k\theta) mantém sinal; entre um zero e o próximo onde \cos(k\theta)>0 temos exatamente uma pétala. Logo o comprimento angular de uma pétala é \pi/k. Podemos, sem perda, escolher um intervalo conveniente como
Simplificando os argumentos dos senos: 2k\cdot\frac{\pi}{2k}=\pi e 2k\cdot\big(-\frac{\pi}{2k}\big)=-\pi. Como \sin(\pi)=0 e \sin(-\pi)=0, o segundo termo é zero. Portanto a integral total é apenas \pi/k.