QUESTÃO 3

Considere uma rosácea genérica, dada por
r=a \cos (k \theta),
com a>0 e k \in \mathbb{N}. A área de uma pétala dessa rosácea é igual a
(A) \frac{a^{2} \pi}{2 k}
(B) \frac{a^{2} \pi}{4 k}
(C) \frac{a^{2} \pi}{8 k}
(D) \frac{a^{2} \pi}{4}
(E) \frac{a^{2} \pi}{2}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado dá a curva polar
r = a \cos(k\theta),
com a>0 e k\in\mathbb{N}. Pergunta-se a área de uma pétala dessa rosácea; as alternativas são:
(A) \dfrac{a^{2}\pi}{2k} \quad (B) \dfrac{a^{2}\pi}{4k} \quad (C) \dfrac{a^{2}\pi}{8k} \quad (D) \dfrac{a^{2}\pi}{4} \quad (E) \dfrac{a^{2}\pi}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão polar da curva é r=a\cos(k\theta).
  • Queremos a área de uma única pétala (ou seja, a área de um lóculo isolado da curva).
  • a é positivo; k é inteiro natural.

Passo 2

A fórmula que usamos para área em coordenadas polares é esta:
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta)^2\,d\theta.Á
Explicando essa fórmula de forma simples: um pequeno setor polar entre \theta e \theta+d\theta tem área aproximada \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta. Somando (integrando) esses setores sobre o ângulo que descreve a pétala obtemos a área total da pétala. Aqui r(\theta) é o raio em função do ângulo e \theta_1,\theta_2 são os ângulos que delimitam a pétala.

Passo 3

Precisamos escolher os limites \theta_1,\theta_2 que percorrem exatamente uma pétala, isto é, entre dois zeros consecutivos de r onde r passa de zero, sobe e volta a zero. As raízes de r ocorrem quando \cos(k\theta)=0. Assim:
\cos(k\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad k\theta = \frac{\pi}{2}+m\pi,\quad m\in\mathbb{Z}.
Portanto as raízes são
\theta = \frac{\pi/2 + m\pi}{k}.
Dois zeros consecutivos (por exemplo com m e m+1) têm diferença
\Delta\theta = \frac{\pi/2+(m+1)\pi}{k}-\frac{\pi/2+m\pi}{k}=\frac{\pi}{k}.
Entre zeros consecutivos \cos(k\theta) mantém sinal; entre um zero e o próximo onde \cos(k\theta)>0 temos exatamente uma pétala. Logo o comprimento angular de uma pétala é \pi/k. Podemos, sem perda, escolher um intervalo conveniente como
\theta_1= -\frac{\pi}{2k},\qquad \theta_2=\theta_1+\frac{\pi}{k}=\frac{\pi}{2k},
porque para \theta nesse intervalo k\theta\in\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big) e então \cos(k\theta)\ge0.

Passo 4

Agora escrevemos a integral da área de uma pétala usando a fórmula do passo 2 e o intervalo do passo 3:
\text{Área da pétala}=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2k}}^{\frac{\pi}{2k}} \big(a\cos(k\theta)\big)^2\,d\theta =\frac{a^{2}}{2}\int_{-\frac{\pi}{2k}}^{\frac{\pi}{2k}} \cos^{2}(k\theta)\,d\theta.Áé

Passo 5

Para integrar \cos^{2}(k\theta) usamos a identidade trigonométrica básica
\cos^{2}u=\frac{1+\cos(2u)}{2},
com u=k\theta. Substituindo na integral:
\text{Área}=\frac{a^{2}}{2}\int_{-\frac{\pi}{2k}}^{\frac{\pi}{2k}} \frac{1+\cos(2k\theta)}{2}\,d\theta =\frac{a^{2}}{4}\int_{-\frac{\pi}{2k}}^{\frac{\pi}{2k}} \big(1+\cos(2k\theta)\big)\,d\theta.Á

Passo 6

Agora calculamos a integral termo a termo. Primeiro o termo constante:
\int_{-\frac{\pi}{2k}}^{\frac{\pi}{2k}} 1\,d\theta = \frac{\pi}{k}.
Segundo termo:
\int_{-\frac{\pi}{2k}}^{\frac{\pi}{2k}} \cos(2k\theta)\,d\theta = \left.\frac{\sin(2k\theta)}{2k}\right|_{-\frac{\pi}{2k}}^{\frac{\pi}{2k}} = \frac{\sin\big(2k\cdot\frac{\pi}{2k}\big)-\sin\big(2k\cdot\big(-\frac{\pi}{2k}\big)\big)}{2k}.
Simplificando os argumentos dos senos: 2k\cdot\frac{\pi}{2k}=\pi e 2k\cdot\big(-\frac{\pi}{2k}\big)=-\pi. Como \sin(\pi)=0 e \sin(-\pi)=0, o segundo termo é zero. Portanto a integral total é apenas \pi/k.

Passo 7

Voltando à expressão da área:
\text{Área}=\frac{a^{2}}{4}\cdot\frac{\pi}{k}=\frac{a^{2}\pi}{4k}.Á
Isso coincide com a alternativa (B).

Resposta

\dfrac{a^{2}\pi}{4k}
(B)

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