Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Passo 1
O enunciado fornece a superfície quádricas dada por
e pede que usemos cortes (seções) para esboçá-la e identificar seu tipo. O conteúdo aqui é reconhecimento de superfícies através de reescrita da equação e análise de seções em planos coordenados.
Passo 2
Vamos completar o quadrado em
e em
. Reescrevendo:
Completar quadrados:
logo
e, portanto,
Passo 3
Cortes horizontais em
. Substituindo
na forma padrão,
Para cada
isso é um círculo centrado em
com raio
. À medida que
cresce, as circunferências se abrem, mostrando um formato em “tigela”.
Passo 4
Cortes verticais em
ou
.
- Para
fixo:
que é uma parábola em
-plano, eixo paralelo a
, vértice em
.
- Para
fixo:
que é uma parábola em
-plano, eixo paralelo a
, vértice em
.
Passo 5
A análise dos cortes mostra:
- Horizontais dão círculos cujo raio cresce com
. - Verticais dão parábolas que se abrem para cima.
Isso corresponde a um paraboloide elíptico de vértice em
e eixo paralelo ao eixo
, abrindo para
.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico dado por
com vértice em
e abertura ao longo do eixo positivo
.