Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
x^{2}+y^{2}-2 x-6 y-z+10=0

Passo 1

O enunciado fornece a superfície quádricas dada por
x^{2} + y^{2} - 2x - 6y - z + 10 = 0
e pede que usemos cortes (seções) para esboçá-la e identificar seu tipo. O conteúdo aqui é reconhecimento de superfícies através de reescrita da equação e análise de seções em planos coordenados.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x e em y. Reescrevendo:
x^{2} - 2x + y^{2} - 6y - z + 10 = 0.
Completar quadrados:
(x^{2} - 2x + 1) - 1 + (y^{2} - 6y + 9) - 9 - z + 10 = 0,
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(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} - z + 0 = 0
e, portanto,
z = (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2}.

Passo 3

Cortes horizontais em z = c. Substituindo z=c na forma padrão,
c = (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2}.
Para cada c\ge0 isso é um círculo centrado em (1,3) com raio \sqrt{c}. À medida que c cresce, as circunferências se abrem, mostrando um formato em “tigela”.

Passo 4

Cortes verticais em x = h ou y = k.
  • Para x = h fixo:
z = (h - 1)^{2} + (y - 3)^{2},
que é uma parábola em yz-plano, eixo paralelo a z, vértice em \bigl(y=3,\;z=(h-1)^{2}\bigr).
  • Para y = k fixo:
z = (x - 1)^{2} + (k - 3)^{2},
que é uma parábola em xz-plano, eixo paralelo a z, vértice em \bigl(x=1,\;z=(k-3)^{2}\bigr).

Passo 5

A análise dos cortes mostra:
  • Horizontais dão círculos cujo raio cresce com z.
  • Verticais dão parábolas que se abrem para cima.
Isso corresponde a um paraboloide elíptico de vértice em (1,3,0) e eixo paralelo ao eixo z, abrindo para z>0.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico dado por
z = (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2},
com vértice em (1,3,0) e abertura ao longo do eixo positivo z.

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