Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Passo 1
O enunciado pede para usar cortes em planos coordenados para esboçar e identificar a superfície dada por
O objetivo é reconhecer que tipo de quádricas aparece em cada corte e, a partir disso, identificar a superfície inteira.
Passo 2
Vamos completar quadrados em
e em
. Reescrevendo
temos
Logo
Dividindo ambos os lados por 5, obtemos a forma canônica
Passo 3
Corte por
(plano paralelo a
): substituindo
em
vem
que é uma circunferência de centro
no plano
e raio
. Para cada valor de
temos um círculo.
Passo 4
Corte por
(plano paralelo a
): em
fica
que, para valores de
tais que
, é uma hipérbole com eixos alinhados a
e
.
Passo 5
Corte por
(plano paralelo a
): em
temos
outra hipérbole, agora de ramo orientado no plano
.
Passo 6
Como em cortes horizontais (
constante) aparecem círculos e em cortes verticais (
ou
constantes) aparecem hipérboles, e a forma canônica tem dois sinais positivos e um negativo, concluímos que a superfície é um hiperbolóide de uma folha. O eixo principal está paralelo ao eixo
e o centro está em
.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha, com forma canônica
e eixos paralelos aos eixos coordenados, tendo o eixo principal ao longo de
.