Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
x^{2}-y^{2}+z^{2}-4 x-2 z=0

Passo 1

O enunciado pede para usar cortes em planos coordenados para esboçar e identificar a superfície dada por
x^{2}-y^{2}+z^{2}-4x-2z=0.
O objetivo é reconhecer que tipo de quádricas aparece em cada corte e, a partir disso, identificar a superfície inteira.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e em z. Reescrevendo
x^{2}-4x + z^{2}-2z - y^{2}=0
temos
(x-2)^{2} - 4 \;+\;(z-1)^{2} -1 \;-\;y^{2}=0.
Logo
(x-2)^{2} + (z-1)^{2} - y^{2} = 5.
Dividindo ambos os lados por 5, obtemos a forma canônica
\frac{(x-2)^{2}}{5} \;+\;\frac{(z-1)^{2}}{5}\;-\;\frac{y^{2}}{5}\;=\;1.

Passo 3

Corte por y=y_{0} (plano paralelo a xz): substituindo y=y_{0} em
(x-2)^{2} + (z-1)^{2} - y_{0}^{2} = 5
vem
(x-2)^{2} + (z-1)^{2} = 5 + y_{0}^{2},
que é uma circunferência de centro (2,1) no plano xz e raio \sqrt{5+y_{0}^{2}}. Para cada valor de y_{0} temos um círculo.

Passo 4

Corte por z=z_{0} (plano paralelo a xy): em
(x-2)^{2} + (z_{0}-1)^{2} - y^{2} = 5
fica
(x-2)^{2} - y^{2} = 5 - (z_{0}-1)^{2},
que, para valores de z_{0} tais que 5 - (z_{0}-1)^{2}\neq 0, é uma hipérbole com eixos alinhados a x e y.

Passo 5

Corte por x=x_{0} (plano paralelo a yz): em
(x_{0}-2)^{2} + (z-1)^{2} - y^{2} = 5
temos
(z-1)^{2} - y^{2} = 5 - (x_{0}-2)^{2},
outra hipérbole, agora de ramo orientado no plano yz.

Passo 6

Como em cortes horizontais ( y= constante) aparecem círculos e em cortes verticais ( x ou z constantes) aparecem hipérboles, e a forma canônica tem dois sinais positivos e um negativo, concluímos que a superfície é um hiperbolóide de uma folha. O eixo principal está paralelo ao eixo y e o centro está em (2,0,1).

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha, com forma canônica
\frac{(x-2)^{2}}{5} + \frac{(z-1)^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 1,
e eixos paralelos aos eixos coordenados, tendo o eixo principal ao longo de y.

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