Questão 0.3. Determine os autovalores e os autovetores (se existirem) dos seguintes operadores lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y)=(x, 2 x+3 y)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores do operador linear
\;T\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definido por
T(x,y) = (x,\;2x+3y).
Conteúdo: representação matricial, polinômio característico, solução de (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Escolhemos a base canônica \{e_{1},e_{2}\}. A matriz de T nessa base é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 2 & 3 \end{pmatrix},
pois T(e_{1})=(1,2) e T(e_{2})=(0,3).

Passo 3

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0\\\\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(3-\lambda).

Passo 4

Igualando a zero, obtemos os autovalores
(1-\lambda)(3-\lambda)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1}=1, \;\lambda_{2}=3.

Passo 5

Para \lambda_{1}=1, resolvemos
(A - I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A segunda linha dá 2x+2y=0, isto é, y=-x.
Logo, o espaço próprio associado a \lambda_{1}=1 é gerado por
\;(1,-1).

Passo 6

Para \lambda_{2}=3, resolvemos
(A - 3I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -2 & 0\\\\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem x=0, e y fica livre.
Então o espaço próprio de \lambda_{2}=3 é gerado por
\;(0,1).

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
\lambda_{1}=1 com autovetores escalares de (1,-1),
\lambda_{2}=3 com autovetores escalares de (0,1).

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