Questão 2 (3.0)
Um disco fino de raio a possui densidade de carga elétrica superficial \sigma(\rho)=3 \sigma_{0} para 0<\rho<\frac{a}{3} e \sigma(\rho)=-\sigma_{0} para \frac{a}{3}<\rho<a. Utilizando a Lei de Coulomb e o principio da superposição calcule campo elétrico no eixo z que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano do disco. Dica: para simplificar a conta utilize o resultas para campo elétrico no eixo z produzido pela densidade linear de caga \lambda_{0} ao longo de um circulo de raio \rho :
\vec{E}_{\text {anel }}=2 \pi k \hat{z} z \frac{\lambda_{0} \rho}{\left(\rho^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado dá um disco fino de raio a com densidade de carga superficial que varia em duas regiões radiais: \sigma(\rho)=3\sigma_{0} para 0<\rho<\tfrac{a}{3} e \sigma(\rho)=-\sigma_{0} para \tfrac{a}{3}<\rho<a.
Precisamos calcular o campo elétrico \vec{E} ao longo do eixo z perpendicular ao plano do disco, usando superposição de anéis de carga e a Lei de Coulomb. Como dica, temos o campo de um anel de raio \rho com densidade linear \lambda_{0}:
\vec{E}_{\text{anel}} =2\pi k\,\hat{z}\;z\;\frac{\lambda_{0}\,\rho}{\bigl(\rho^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Dividimos o disco em anéis de espessura d\rho e carga
dQ=\sigma(\rho)\,2\pi\rho\,d\rho,
ou seja, cada anel se comporta como se tivesse densidade linear \lambda_{0}=\sigma(\rho)\,d\rho.
Logo o campo gerado por um anel de raio \rho e espessura d\rho é
d\vec{E} =2\pi k\,\hat{z}\;z\;\frac{\sigma(\rho)\,\rho\,d\rho}{\bigl(\rho^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Aplicamos superposição em duas integrais, correspondentes às duas regiões de densidade:
\vec{E} =\hat{z}\;2\pi k\,z \Biggl[ \int_{0}^{\,a/3}3\sigma_{0}\,\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}} +\int_{a/3}^{\,a}(-\sigma_{0})\,\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}} \Biggr].

Passo 4

Usamos a primitiva
\int \frac{\rho\,d\rho}{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}} =-\frac{1}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}}
para avaliar cada integral. Para a primeira (densidade 3\sigma_{0}):
I_{1} =3\sigma_{0}\,z \Bigl[-\tfrac{1}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}}\Bigr]_{0}^{\,a/3} =3\sigma_{0}\,z\Bigl(\tfrac{1}{z}-\tfrac{1}{\sqrt{z^{2}+(a/3)^{2}}}\Bigr).
Para a segunda (densidade -\sigma_{0}):
I_{2} =-\sigma_{0}\,z \Bigl[-\tfrac{1}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}}\Bigr]_{a/3}^{\,a} =\sigma_{0}\,z\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}-\tfrac{1}{\sqrt{z^{2}+(a/3)^{2}}}\Bigr).

Passo 5

Somando e fatorando 2\pi k:
E_{z} =2\pi k \bigl(I_{1}+I_{2}\bigr) =2\pi k\,\sigma_{0} \Bigl[ 3\Bigl(1-\tfrac{z}{\sqrt{z^{2}+(a/3)^{2}}}\Bigr) +\Bigl(\tfrac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}-\tfrac{z}{\sqrt{z^{2}+(a/3)^{2}}}\Bigr) \Bigr].
Reagrupando termos em \tfrac{z}{\sqrt{\,\cdot\,}}:
E_{z} =2\pi k\,\sigma_{0} \Bigl[ 3 -4\,\frac{z}{\sqrt{z^{2}+(a/3)^{2}}} +\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} \Bigr].

Resposta

\boxed{ \vec{E}(z) =2\pi k\,\sigma_{0}\, \Bigl[\,3 -4\,\frac{z}{\sqrt{z^{2}+\tfrac{a^{2}}{9}}} +\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} \Bigr]\;\hat{z}. }

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