Questão 2: Considere dois anéis carregados, cada qual de raio R, cujos eixos coincidem. As cargas dos anéis são q e -q. Encontre a diferença de potencial entre os centros dos anéis separados por uma distância a.

Passo 1

O enunciado trata de dois anéis coaxiais, cada um de raio R, separados por uma distância a, com cargas q e -q. A tarefa é calcular a diferença de potencial entre o centro do anel carregado com q (vamos chamar de ponto C1, em z=0) e o centro do anel carregado com -q (ponto C2, em z=a). O conteúdo principal é o potencial eletrostático no eixo de um anel carregado, cuja fórmula vamos precisar para somar as contribuições de ambos os anéis.

Passo 2

Lembrando que, no eixo de um anel de raio R e carga Q, o potencial a uma distância z do plano do anel vale
V(z) ;=; k,QraizR^2+z^2
onde k=14pivarepsilon0.

Passo 3

Vamos calcular o potencial em C1 (em z=0). Há duas contribuições:
  1. Do anel com carga q em z=0, que no próprio centro dá
Vqto C1 = k,qR,
  1. Do anel com carga -q em z=a, que visto de z=0 está a uma distância a, gerando
V-qto C1 = k,-qraizR^2 + a^2,
Somando,
V(C1)=Vqto C1+V-qto C1 = kl(qR-qraizR^2+a^2r),

Passo 4

Agora o potencial em C2 (em z=a):
  1. Do anel com carga -q em z=a, no centro dele mesmo:
V-qto C2 = k,-qR,
  1. Do anel com carga q em z=0, visto de z=a a distância a:
Vqto C2 = k,qraizR^2 + a^2,
Somando,
V(C2)=Vqto C2+V-qto C2 = kl(qraizR^2+a^2-qRr),

Passo 5

A diferença de potencial pedida é
De<a V ;=; V(C1)-V(C2) = kl(qR-qraizR^2+a^2r) ;-;kl(qraizR^2+a^2-qRr)
De<a V = 2,k,ql(1R-1raizR^2+a^2r)
Substituindo k=1/(4pivarepsilon0) obtemos
De<a V = 2q4pivarepsilon0l(1R-1raizR^2+a^2r) = q2pivarepsilon0l(1R-1raizR^2+a^2r)

Resposta

boxedDe<a V = q2pivarepsilon0l(1R-1raizR^2+a^2r),

Exercícios relacionados