Questão 9. Considere duas medidas de amostragens de grãos, uma com um balde pequeno e outra com um balde grande. A partir das quantidades de grãos (partículas) foram calculados os erros relativos (E%) para cada amostragem. Com base nessas informações responda:
a) Qual das amostragens deve fornecer um
menor? Justifique a resposta.
b) Prove matematicamente a resposta dada no item “a”.
a) Qual das amostragens deve fornecer um
b) Prove matematicamente a resposta dada no item “a”.
Passo 1
O enunciado compara duas amostragens de grãos, uma com balde pequeno (menos partículas, chamemos de
) e outra com balde grande (mais partículas, chamemos de
). Pede-se (a) qual amostragem dá menor erro relativo
e (b) provar isso matematicamente. Para resolver, vamos usar o conceito de contagem estatística (modelo de Poisson) e a definição de erro relativo.
Passo 2
Num processo de contagem de partículas assume-se que a incerteza absoluta na contagem
é
(de acordo com o modelo de Poisson). A partir disso, a definição de erro relativo é
Passo 3
Substituindo
na expressão de
, obtemos
Isto mostra que
varia como
, ou seja, cresce quando
diminui e decresce quando
aumenta.
Passo 4
Comparando as duas amostragens:
- No balde pequeno temos
partículas, logo
- No balde grande temos
, logo
Portanto, conforme o resultado matemático, quanto maior o número de partículas
, menor será o erro relativo.
Resposta
A amostragem com balde grande deve fornecer o menor
, pois
decresce com
segundo