Questão 9. Considere duas medidas de amostragens de grãos, uma com um balde pequeno e outra com um balde grande. A partir das quantidades de grãos (partículas) foram calculados os erros relativos (E%) para cada amostragem. Com base nessas informações responda:
a) Qual das amostragens deve fornecer um \mathrm{E} \% menor? Justifique a resposta.
b) Prove matematicamente a resposta dada no item “a”.

Passo 1

O enunciado compara duas amostragens de grãos, uma com balde pequeno (menos partículas, chamemos de N_{\rm p}) e outra com balde grande (mais partículas, chamemos de N_{\rm G}). Pede-se (a) qual amostragem dá menor erro relativo E\% e (b) provar isso matematicamente. Para resolver, vamos usar o conceito de contagem estatística (modelo de Poisson) e a definição de erro relativo.

Passo 2

Num processo de contagem de partículas assume-se que a incerteza absoluta na contagem N é
\Delta N = \sqrt{N}
(de acordo com o modelo de Poisson). A partir disso, a definição de erro relativo é
E\% \;=\;\frac{\Delta N}{N}\times 100\%.

Passo 3

Substituindo \Delta N=\sqrt{N} na expressão de E\%, obtemos
E\% = \frac{\sqrt{N}}{N}\times 100 = \frac{100}{\sqrt{N}}.
Isto mostra que E\% varia como N^{-1/2}, ou seja, cresce quando N diminui e decresce quando N aumenta.

Passo 4

Comparando as duas amostragens:
  • No balde pequeno temos N_{\rm p} partículas, logo
E_{\rm p}\% = \frac{100}{\sqrt{N_{\rm p}}}.
  • No balde grande temos N_{\rm G}>N_{\rm p}, logo
E_{\rm G}\% = \frac{100}{\sqrt{N_{\rm G}}} < \frac{100}{\sqrt{N_{\rm p}}} = E_{\rm p}\%.
Portanto, conforme o resultado matemático, quanto maior o número de partículas N, menor será o erro relativo.

Resposta

A amostragem com balde grande deve fornecer o menor E\%, pois E\% decresce com \sqrt{N} segundo
E\% = \frac{100}{\sqrt{N}}.

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