Questāo 1 . Considere a seguinte EDO: y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2+x^{2}. Se y_{h}(x) é a soluçāo homogênea, o valor de y_{h}(1) é:
(a) c_{1}+c_{2}
(b) c_{1} e^{2}+c_{2} e^{2}
(c) c_{1} e^{-1}+c_{2} e^{-1}
(d) c_{1}+c_{2} e^{-1}
(e) c_{1} e+c_{2} e^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
y'' + y' = 2 + x^2
e pede apenas o valor de y_{h}(1), onde y_{h}(x) é a solução da parte homogênea. Para isso vamos:
  1. Formar a equação característica da homogênea.
  2. Achar as raízes e escrever y_{h}(x).
  3. Avaliar em x=1.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + y' = 0.
Assumimos y = e^{r x}, o que leva à equação característica
r^2 + r = 0.
Resolvendo, obtemos
r(r + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r_1 = 0,\quad r_2 = -1.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral homogênea é
y_{h}(x) = c_{1}e^{r_{1}x} + c_{2}e^{r_{2}x} = c_{1}e^{0\cdot x} + c_{2}e^{-1\cdot x} = c_{1} + c_{2}e^{-x}.

Passo 4

Basta agora avaliar em x=1:
y_{h}(1) = c_{1} + c_{2}e^{-1}.

Resposta

(d) c_{1} + c_{2}e^{-1}

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