Questão 3 . Considere a EDO: x^{\prime \prime}-16 x=e^{4 t}, \operatorname{com} x(0)=0 e x^{\prime}(0)=1. Sendo X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}, qual é a expressão que equivale ao cálculo X(s) na EDO?
(a) \frac{s}{\left(s^{2}+16\right)^{2}}
(b) \frac{s}{\left(s^{2}-16\right)^{2}}
(c) \frac{1}{s^{2}-16}+\frac{1}{(s+4)^{2}(2-4)}
(d) \frac{1}{s^{2}-16}+\frac{1}{(s-4)^{2}(s+4)}
(e) \frac{1}{s^{2}+16}+\frac{s}{\left(s^{2}+16\right)^{2}}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a EDO
x'' - 16x = e^{4t}
com condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=1. Nosso objetivo é aplicar a transformada de Laplace e obter X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em x''(t) e em -16x(t), usamos
\mathcal{L}\{x''\} = s^2X(s) - s\,x(0) - x'(0)
\mathcal{L}\{-16x\} = -16X(s)
e do lado direito
\mathcal{L}\{e^{4t}\} = \frac{1}{s-4}.
Substituindo na EDO, obtemos
\bigl(s^2X(s) - 0 - 1\bigr) - 16X(s) = \frac{1}{s-4}.

Passo 3

Agrupando X(s) no lado esquerdo:
(s^2 - 16)X(s) - 1 = \frac{1}{s-4}
(s^2 - 16)X(s) = 1 + \frac{1}{s-4}
X(s) = \frac{1}{s^2 - 16} + \frac{1}{(s-4)(s^2 - 16)}.
Como s^2 - 16 = (s-4)(s+4), a segunda parcela fica
\frac{1}{(s-4)^2(s+4)}.

Passo 4

Portanto
X(s) = \frac{1}{s^2 - 16} + \frac{1}{(s-4)^2(s+4)},
que é exatamente a alternativa (d).

Resposta

(d)

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