Questão 1 . Considere a seguinte EDO: y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=(x+1) e^{2 x}. Se y_{h}(x) é a solução homogênea, o valor de y_{h}(1) é:
(a) c_{1}+c_{2}
(b) c_{1} e^{2}+c_{2} e^{2}
(c) c_{1} e^{-1}+c_{2} e^{-1}
(d) c_{1}+c_{2} e^{-1}
(e) c_{1} e+c_{2} e^{-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'' - 4y' + 4y = (x+1)e^{2x}
e pede o valor de y_{h}(1), onde y_{h}(x) é a solução homogênea. Para isso, vamos resolver a parte homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0,
encontrar y_{h}(x) e então avaliar em x=1.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à homogênea:
r^{2} - 4r + 4 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0,
ou seja, há raiz dupla.

Passo 3

Como a raiz é r=2 de multiplicidade 2, a solução geral homogênea é
y_{h}(x) = \bigl(c_{1} + c_{2}\,x\bigr)e^{2x}.

Passo 4

Avaliamo-la em x=1:
y_{h}(1) = \bigl(c_{1} + c_{2}\cdot 1\bigr)e^{2\cdot 1} = (c_{1} + c_{2})e^{2} = c_{1}e^{2} + c_{2}e^{2}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que corresponde à letra (b).

Resposta

(b)

Exercícios relacionados