Questão 3. Considere a EDO de primeira ordem
a) (
) Mostre que a equação em questão não é exata.
b) (
) Determine um fator integrante
de modo que
seja uma equação exata.
c) (1 pt) Determine a família de soluções para a EDO em questão.
b) (
c) (1 pt) Determine a família de soluções para a EDO em questão.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
que envolve equações exatas e fator integrante. Vamos chamar
para testar exatidão, depois encontrar
e, por fim, obter a solução geral.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. Usamos
que depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicando a EDO por
obtemos
Agora
logo é exata. Buscamos
tal que
e
.
Passo 5
Integramos
em
:
Então
deve ser igual a
, o que dá
. Assim
é constante e a solução implícita é
Resposta
A família de soluções é