Questão 3. Considere a EDO de primeira ordem
\left(5 x^{2} \cdot e^{y}+x^{4}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3} \cdot e^{y}\right) \mathrm{d} y=0
a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Mostre que a equação em questão não é exata.
b) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Determine um fator integrante \mu de modo que \mu .(\boldsymbol{\star}) seja uma equação exata.
c) (1 pt) Determine a família de soluções para a EDO em questão.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(5x^{2}e^{y}+x^{4})\,dx + (x^{3}e^{y})\,dy = 0
que envolve equações exatas e fator integrante. Vamos chamar
M(x,y)=5x^{2}e^{y}+x^{4},\quad N(x,y)=x^{3}e^{y},
para testar exatidão, depois encontrar \mu e, por fim, obter a solução geral.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =5x^{2}e^{y}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =3x^{2}e^{y}.
Como \partial M/\partial y\neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x). Usamos
\frac{M_{y}-N_{x}}{N} =\frac{5x^{2}e^{y}-3x^{2}e^{y}}{x^{3}e^{y}} =\frac{2}{x},
que depende só de x. Logo
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{2}{x} \implies \ln\mu=2\ln|x| \implies \mu(x)=x^{2}.

Passo 4

Multiplicando a EDO por \mu=x^{2} obtemos
M^{*}=5x^{4}e^{y}+x^{6}, \quad N^{*}=x^{5}e^{y}.
Agora
\frac{\partial M^{*}}{\partial y} =5x^{4}e^{y} =\frac{\partial N^{*}}{\partial x},
logo é exata. Buscamos \psi tal que \psi_x=M^{*} e \psi_y=N^{*}.

Passo 5

Integramos M^{*} em x:
\psi(x,y) =\int(5x^{4}e^{y}+x^{6})\,dx =5e^{y}\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}+h(y) =x^{5}e^{y}+\frac{x^{7}}{7}+h(y).
Então
\psi_{y} =x^{5}e^{y}+h'(y)
deve ser igual a N^{*}=x^{5}e^{y}, o que dá h'(y)=0. Assim h é constante e a solução implícita é
x^{5}e^{y}+\frac{x^{7}}{7}=C.

Resposta

A família de soluções é
x^{5}e^{y} + \frac{x^{7}}{7} = C.

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