Questão 2. a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Defina o que é uma EDO de variável separável.
b) (1 pt) Determine a família de soluções para e seguinte EDO
y^{\prime}(x)=\frac{-4}{x+5} y(x)+3 x
c) (1 pt) Determine a família de soluções para e seguinte EDO
u^{\prime}(t)=-12 t \cos \left(t^{2}\right) \cdot u^{-4}(t)

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
a) definir o que é uma EDO de variável separável;
b) resolver a EDO
y'(x)=\frac{-4}{x+5}\,y(x)+3x;
c) resolver a EDO
u'(t)=-12\,t\cos\bigl(t^2\bigr)\,u^{-4}(t).
Os conteúdos envolvidos são a definição de EDO separável, método para EDO linear de 1ª ordem e separação de variáveis.

Passo 2

Para a parte (a), dizemos que uma EDO é separável quando pode ser escrita na forma
y' = f(x)\,g(y),
ou seja, podemos separar as variáveis como
\frac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx.
Basta então integrar cada lado em sua variável.

Passo 3

Para a parte (b) reconhecemos a EDO como linear de 1ª ordem no formato
y' + P(x)\,y = Q(x),
com
P(x)=\frac{4}{x+5}, \quad Q(x)=3x.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(4\ln|x+5|\bigr) =(x+5)^4.
Multiplicando a EDO por \mu obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,(x+5)^4\bigr) =3x\,(x+5)^4.
Integrando,
y\,(x+5)^4 =\int 3x\,(x+5)^4\,dx =\frac{(x+5)^6}{2}-3(x+5)^5 + C.
Logo
y(x) =\frac{(x+5)^2}{2}-3(x+5)+C\,(x+5)^{-4}.

Passo 4

Para a parte (c) a EDO já está em forma separável:
u^{-4}\,du = -12\,t\cos\bigl(t^2\bigr)\,dt.
Integrando,
\int u^{-4}\,du = \int -12\,t\cos(t^2)\,dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{u^5}{5} = -6\sin(t^2) + C.
Multiplicando por 5 e renomeando a constante,
u^5 = C_1 -30\sin(t^2),
portanto
u(t) = \bigl(C_1 - 30\sin(t^2)\bigr)^{1/5}.

Resposta

a) EDO de variável separável é aquela que pode ser escrita como \displaystyle y' = f(x)\,g(y)
e resolvida por \displaystyle \int \frac{1}{g(y)}\,dy = \int f(x)\,dx.
b) \displaystyle y(x)=\frac{(x+5)^2}{2}-3(x+5)+C\,(x+5)^{-4}.
c) \displaystyle u(t)=\bigl(C_1 - 30\sin(t^2)\bigr)^{1/5}, onde C_1 é constante arbitrária.

Exercícios relacionados