Questão 5. Em um reservatório existe uma solução com 50 mil litros de água pura misturado com 40 Kg de cloro. Em um determinado instante começa a ser lançado no reservatório uma solução com 3 Kg de cloro por litro a uma vazão de 4 litros por segundo. No mesmo instante uma torneira é aberta jogando a solução dentro do reservatório fora, a uma vazão de 4 litros por segundo. Sabendo que existe um mecanismo de mistura que deixa a solução dentro do reservatório sempre homogênea, determine:
a) (
) A função que representa a quantidade de cloro no reservatório em função do tempo.
b) ( 1 pt ) O tempo necessário para que se tenha 250 Kg de cloro no reservatório.
a) (
b) ( 1 pt ) O tempo necessário para que se tenha 250 Kg de cloro no reservatório.
Passo 1
O reservatório tem volume constante de
L e, em
, contém
kg de cloro (água pura sem cloro antes). A partir de
entra solução à vazão de
L/s com concentração
kg/L e sai à mesma vazão misturada homogênea. O conteúdo é equacionar o balanço de massa de cloro, levando a uma EDO linear de primeira ordem.
Passo 2
A taxa de entrada de cloro é
A taxa de saída é o produto da vazão de saída pela concentração interna, ou seja
Logo o balanço dá a EDO
Passo 3
Trata-se de EDO linear de coeficiente constante. Buscamos solução geral como soma de parte homogênea e particular.
A parte particular é a solução constante que satisfaz
A parte particular é a solução constante
A parte homogênea resolve
, cuja solução é
Portanto a solução geral é
Passo 4
Usando a condição inicial
, temos
Assim a quantidade de cloro em função do tempo é
Passo 5
Para achar o instante em que
kg, resolvemos
Tomando logaritmo,
Resposta
(a)
(b)
(b)