Questão 5. Em um reservatório existe uma solução com 50 mil litros de água pura misturado com 40 Kg de cloro. Em um determinado instante começa a ser lançado no reservatório uma solução com 3 Kg de cloro por litro a uma vazão de 4 litros por segundo. No mesmo instante uma torneira é aberta jogando a solução dentro do reservatório fora, a uma vazão de 4 litros por segundo. Sabendo que existe um mecanismo de mistura que deixa a solução dentro do reservatório sempre homogênea, determine:
a) ( 1,5 \mathrm{pt} ) A função que representa a quantidade de cloro no reservatório em função do tempo.
b) ( 1 pt ) O tempo necessário para que se tenha 250 Kg de cloro no reservatório.

Passo 1

O reservatório tem volume constante de 50000 L e, em t=0, contém 40 kg de cloro (água pura sem cloro antes). A partir de t=0 entra solução à vazão de 4 L/s com concentração 3 kg/L e sai à mesma vazão misturada homogênea. O conteúdo é equacionar o balanço de massa de cloro, levando a uma EDO linear de primeira ordem.

Passo 2

A taxa de entrada de cloro é
\text{in} = (4\;\mathrm{L/s})\times(3\;\mathrm{kg/L}) = 12\;\mathrm{kg/s}.
A taxa de saída é o produto da vazão de saída pela concentração interna, ou seja
\text{out} = 4\;\mathrm{L/s}\times\frac{x(t)}{50000\;\mathrm{L}} = \frac{x(t)}{12500}\;\mathrm{kg/s}.
Logo o balanço dá a EDO
\frac{dx}{dt} = 12 - \frac{x}{12500}.

Passo 3

Trata-se de EDO linear de coeficiente constante. Buscamos solução geral como soma de parte homogênea e particular.
A parte particular é a solução constante x_p que satisfaz
0 = 12 - \frac{x_p}{12500} \quad\Longrightarrow\quad x_p = 12\cdot12500 = 150000\;\mathrm{kg}.
A parte homogênea resolve \frac{dx_h}{dt} + \frac{1}{12500}x_h=0, cuja solução é
x_h(t) = C\,e^{-t/12500}.
Portanto a solução geral é
x(t) = C\,e^{-t/12500} + 150000.

Passo 4

Usando a condição inicial x(0)=40, temos
40 = C + 150000 \quad\Longrightarrow\quad C = -149960.
Assim a quantidade de cloro em função do tempo é
x(t) = 150000 \;-\;149960\,e^{-t/12500}.

Passo 5

Para achar o instante em que x(t)=250 kg, resolvemos
250 = 150000 -149960\,e^{-t/12500} \;\Longrightarrow\; 149960\,e^{-t/12500}=149750 \;\Longrightarrow\; e^{-t/12500}=\frac{149750}{149960}.
Tomando logaritmo,
-\frac{t}{12500} =\ln\!\Bigl(\tfrac{149750}{149960}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad t = -12500\,\ln\!\Bigl(\tfrac{149750}{149960}\Bigr) \approx 17{,}5\;\mathrm{s}.

Resposta

(a) \displaystyle x(t)=150000-149960\,e^{-t/12500}.
(b) \displaystyle t=-12500\ln\!\bigl(\tfrac{149750}{149960}\bigr)\approx17{,}5\\ \mathrm{s}.

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