Questão 1. a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Enuncie, precisamente, o Teorema de Picard.
b) (1,0 pt) Determine as soluções para
\left\{\begin{aligned} w^{\prime}(\theta) & =\theta^{2} e^{\theta-\frac{\pi}{2}}, \quad \theta \in \mathbb{R}, \\\ w(\pi / 2) & =1 . \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Enunciar com precisão o Teorema de Picard (o teorema de existência e unicidade para problemas de valor inicial).
  2. Resolver a equação diferencial de primeira ordem
\begin{cases} w'(\theta)=\theta^{2}e^{\theta-\frac{\pi}{2}},\quad \theta\in\mathbb{R},\\\ w\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1\,. \end{cases}
Para isso precisamos conhecer a teoria de existência e unicidade de soluções de IVP e depois integrar a função do lado direito, que não depende de w.

Passo 2

Teorema de Picard–Lindelöf (enunciado preciso):
Seja \theta_{0}\in\mathbb{R} e w_{0}\in\mathbb{R}. Considere um retângulo
R=\bigl\{(\theta,w)\mid |\theta-\theta_{0}|\le a,\;|w-w_{0}|\le b\bigr\}
e seja
f:R\to\mathbb{R}
contínua em (\theta,w) e satisfazendo a condição de Lipschitz em w: existem constantes L>0 e a,b>0 tais que
\bigl|f(\theta,w_{1})-f(\theta,w_{2})\bigr|\le L\,|w_{1}-w_{2}| \quad\forall\,(\theta,w_{1}),(\theta,w_{2})\in R.
Então existe h, 0<h\le a, tal que o problema de valor inicial
w'(\theta)=f(\theta,w(\theta)),\quad w(\theta_{0})=w_{0}
possui uma única solução w(\theta) definida em \theta\in[\theta_{0}-h,\theta_{0}+h].

Passo 3

No nosso caso f(\theta,w)=\theta^{2}e^{\theta-\frac{\pi}{2}} é contínua em todo \mathbb{R}^{2} e, como não depende de w, satisfaz trivialmente a condição de Lipschitz em w. Logo existe solução única global. Para achar essa solução basta integrar
w'(\theta)=\theta^{2}e^{\theta-\frac{\pi}{2}}.
Como o lado direito depende só de \theta, podemos escrever
w(\theta)-w\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\int_{\pi/2}^{\theta}s^{2}e^{\,s-\frac{\pi}{2}}\;ds.
Usando w(\tfrac{\pi}{2})=1 obtemos
w(\theta) =1+\int_{\pi/2}^{\theta}s^{2}e^{\,s-\frac{\pi}{2}}\;ds.

Passo 4

Calculemos a integral
I(\theta)=\int_{\pi/2}^{\theta}s^{2}e^{\,s-\frac{\pi}{2}}\,ds =e^{-\frac{\pi}{2}}\int_{\pi/2}^{\theta}s^{2}e^{s}\,ds.
Para \int s^{2}e^{s}ds usamos duas integrações por partes:
\int s^{2}e^{s}ds =s^{2}e^{s}-\int2s\,e^{s}ds =s^{2}e^{s}-2\bigl(s\,e^{s}-\int e^{s}ds\bigr) =e^{s}\bigl(s^{2}-2s+2\bigr).
Então
I(\theta) =e^{-\frac{\pi}{2}}\Bigl[e^{\theta}\bigl(\theta^{2}-2\theta+2\bigr) -e^{\frac{\pi}{2}}\Bigl(\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{2} -2\cdot\tfrac{\pi}{2}+2\Bigr)\Bigr]
\;=\;e^{\theta-\frac{\pi}{2}}(\theta^{2}-2\theta+2) -\Bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4}-\pi+2\Bigr).
Logo
w(\theta) =1+e^{\theta-\frac{\pi}{2}}(\theta^{2}-2\theta+2) -\Bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4}-\pi+2\Bigr).

Passo 5

Simplificando a constante fora do expoente, defina
C=1-\Bigl(\tfrac{\pi^{2}}{4}-\pi+2\Bigr) =-\tfrac{\pi^{2}}{4}+\pi-1.
Assim a solução final é
w(\theta) =e^{\theta-\frac{\pi}{2}}(\theta^{2}-2\theta+2) -\tfrac{\pi^{2}}{4}+\pi-1.

Resposta

(a) Seja o problema
w'(\theta)=f(\theta,w),\quad w(\theta_{0})=w_{0},
com f contínua em \{(\theta,w)\mid|\theta-\theta_{0}|\le a,\;|w-w_{0}|\le b\} e satisfazendo \lvert f(\theta,w_{1})-f(\theta,w_{2})\rvert\le L\lvert w_{1}-w_{2}\rvert.
Então existe h>0 tal que esse IVP tem uma {\em única} solução em [\theta_{0}-h,\theta_{0}+h].
(b)
w(\theta) =e^{\theta-\frac{\pi}{2}}(\theta^{2}-2\theta+2) -\frac{\pi^{2}}{4}+\pi-1.

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