Questão 4. a) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Determine a solução geral para
y^{\prime}(x)+\frac{1}{x} y(x)=3 y^{-2}(x) .
b) (0,5 \mathrm{pt}) A única solução satisfazendo y(1)=2.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y'(x) + \frac{1}{x}\,y(x) = 3\,y^{-2}(x),
que é uma equação de Bernoulli no formato
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n,
com P(x)=1/x, Q(x)=3 e n=-2. Para resolver vamos usar a substituição canônica
z(x) = y^{1-n}(x) = y^{1-(-2)}(x) = y^3(x).

Passo 2

Derivando z=y^3 em relação a x temos
z' = 3\,y^2\,y'.
Isolando y' da EDO original e substituindo em z':
y' = z'/(3\,y^2), \quad y' + \frac{1}{x}y = 3\,y^{-2} \;\Longrightarrow\; \frac{z'}{3\,y^2} + \frac{1}{x}y = 3\,y^{-2}.
Multiplicando por 3y^2 obtemos
z' + \frac{3}{x}\,y^3 = 9.
Como y^3 = z, a equação vira
z' + \frac{3}{x}\,z = 9.

Passo 3

A equação para z é linear:
z' + \frac{3}{x}\,z = 9.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\biggl(\int \frac{3}{x}\,dx\biggr) = x^3.
Multiplicando a EDO por x^3 e integrando:
\frac{d}{dx}\bigl(x^3\,z\bigr) = 9\,x^3 \quad\Longrightarrow\quad x^3\,z = 9\int x^3\,dx + C = \frac{9\,x^4}{4} + C.
Logo
z(x) = \frac{9}{4}\,x + C\,x^{-3}.

Passo 4

Voltando à variável y pela relação y^3 = z, obtemos a solução geral
y(x) = \biggl(\frac{9}{4}\,x + C\,x^{-3}\biggr)^{\!1/3},
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para achar a única solução com y(1)=2, impomos
2 = y(1) = \Bigl(\tfrac{9}{4}\cdot1 + C\cdot1^{-3}\Bigr)^{1/3} \;\Longrightarrow\; 8 = \frac{9}{4} + C \;\Longrightarrow\; C = 8 - \frac{9}{4} = \frac{23}{4}.
Logo a solução particular é
y(x) = \biggl(\frac{9}{4}\,x + \frac{23}{4}\,x^{-3}\biggr)^{\!1/3}.

Resposta

(a) A solução geral é
y(x) = \biggl(\frac{9}{4}\,x + C\,x^{-3}\biggr)^{\!1/3}.
(b) A solução única com y(1)=2 é
y(x) = \biggl(\frac{9}{4}\,x + \frac{23}{4}\,x^{-3}\biggr)^{\!1/3}.

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