Questão 3. Considere a EDO de primeira ordem
\left(y \cdot \operatorname{sen}(x)+y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2} \cdot \cos (x)\right) \mathrm{d} y=0 .
a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Mostre que a equação em questão não é exata.
b) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Determine um fator integrante \mu de modo que \mu .(\boldsymbol{\star}) seja uma equação exata.
c) (1 pt) Determine a família de soluções para a EDO em questão.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
\bigl(y\sin x + y^{3}\bigr)\,dx + \bigl(y^{2}\cos x\bigr)\,dy = 0
e pede:
a) mostrar que não é exata;
b) achar um fator integrante \mu que torne o produto exato;
c) obter a família geral de soluções.

Passo 2

Para testar exatidão, defina
M(x,y)=y\sin x + y^{3}, \quad N(x,y)=y^{2}\cos x.
Calcule
\frac{\partial M}{\partial y} = \sin x + 3y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -\,y^{2}\,\sin x.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos \mu de modo a tornar \mu M\,dx + \mu N\,dy exata.
Note que, se escolhermos primeiro \mu_{1}(y)=1/y, a equação fica
(\sin x + y^2)\,dx + (y\cos x)\,dy=0.
Nesse caso
M_{1}(x,y)=\sin x + y^2,\quad N_{1}(x,y)=y\cos x
e
\frac{\partial M_{1}}{\partial y}-\frac{\partial N_{1}}{\partial x} =2y + y\sin x = y\,(2+\sin x),
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\frac{\partial M_{1}/\partial y - \partial N_{1}/\partial x}{N_{1}} =\frac{y\,(2+\sin x)}{y\cos x} =\frac{2+\sin x}{\cos x}
depende só de x. Portanto existe \mu_{2}(x) tal que
\mu_{2}(x)\bigl[M_{1}\,dx + N_{1}\,dy\bigr]
seja exata, com
\mu_{2}(x) =\exp\!\Bigl(\int \frac{2+\sin x}{\cos x}\,dx\Bigr) =\exp\!\Bigl(2\!\int\operatorname{sec} x\,dx +\!\int\tan x\,dx\Bigr) =(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}/\cos x.
Assim, o fator integrante para a EDO original é
\mu(x,y) =\mu_{1}(y)\,\mu_{2}(x) =\frac{1}{y}\,\frac{(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}}{\cos x} =\frac{(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}}{y\,\cos x}.

Passo 4

Multiplicando a EDO original por \displaystyle\mu(x,y)=\frac{(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}}{y\,\cos x}
obtém-se a forma exata
M^{*}(x,y)\,dx + N^{*}(x,y)\,dy=0,
com
M^{*}(x,y) =\frac{(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}}{y\cos x}(y\sin x + y^3) =\frac{(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}}{\cos x}\bigl(\sin x + y^2\bigr),
N^{*}(x,y) =\frac{(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}}{y\cos x}\,(y^2\cos x) =y\,(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}.
De fato verifica-se \partial M^{*}/\partial y = \partial N^{*}/\partial x.

Passo 5

Para resolver a exata, faça a substituição \displaystyle z=y^2.
Da EDO inicial em forma explícita dy/dx obtém-se a linear em z:
\frac{dz}{dx} + 2\operatorname{sec} x\;z = -2\tan x.
O fator integrante é \displaystyle e^{\int2\operatorname{sec} x\,dx}=(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}.
Integre e volte a y; o resultado implícito é
(y^2+1)(\operatorname{sec} x + \tan x)^{2} -2\;\ln\!\bigl[\,1+(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}\bigr] =C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\displaystyle a)\ A equação não é exata porque \partial M/\partial y=\sin x+3y^2\neq -y^2\sin x=\partial N/\partial x.
b)\ Um fator integrante é
\mu(x,y) =\frac{(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}}{y\,\cos x}.
c)\ A família geral das soluções é dada implicitamente por
(y^2+1)(\operatorname{sec} x + \tan x)^{2} -2\ln\!\bigl[1+(\operatorname{sec} x+\tan x)^{2}\bigr] =C.

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