Questão 3. Considere a EDO de primeira ordem
a) (
) Mostre que a equação em questão não é exata.
b) (
) Determine um fator integrante
de modo que
seja uma equação exata.
c) (1 pt) Determine a família de soluções para a EDO em questão.
b) (
c) (1 pt) Determine a família de soluções para a EDO em questão.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede:
a) mostrar que não é exata;
b) achar um fator integrante que torne o produto exato;
c) obter a família geral de soluções.
a) mostrar que não é exata;
b) achar um fator integrante
c) obter a família geral de soluções.
Passo 2
Para testar exatidão, defina
Calcule
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos
de modo a tornar
exata.
Note que, se escolhermos primeiro , a equação fica
Note que, se escolhermos primeiro
Nesse caso
e
logo
depende só de
. Portanto existe
tal que
seja exata, com
Assim, o fator integrante para a EDO original é
Passo 4
Multiplicando a EDO original por
obtém-se a forma exata
obtém-se a forma exata
com
De fato verifica-se
.
Passo 5
Para resolver a exata, faça a substituição
.
Da EDO inicial em forma explícita obtém-se a linear em
:
Da EDO inicial em forma explícita
O fator integrante é
.
Integre e volte a ; o resultado implícito é
Integre e volte a
com
constante arbitrária.
Resposta
b)\ Um fator integrante é
c)\ A família geral das soluções é dada implicitamente por