Questão 4. a) (1,5 pt) Determine a solução geral para
y^{\prime}(x)+\frac{1}{x} y(x)=2 x y^{-3}(x)
b) ( 0,5 \mathrm{pt} )A única solução satisfazendo y(1)=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y'(x) + \frac{1}{x}\,y(x) \;=\; 2\,x\,y(x)^{-3},
que é uma equação de Bernoulli do tipo
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^n
com p(x)=1/x, q(x)=2x e n=-3. Vamos usar a transformação padrão para Bernoulli.

Passo 2

Em equações de Bernoulli, define-se
z = y^{1-n} = y^{1-(-3)} = y^4.
Derivando, temos
z' = 4\,y^3\,y'\quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{z'}{4\,y^3}.

Passo 3

Substituindo y' na equação original:
\frac{z'}{4\,y^3} + \frac{1}{x}\,y = 2\,x\,y^{-3}.
Multiplicando tudo por 4\,y^3,
z' + \frac{4}{x}\,y^4 = 8\,x.
Como y^4 = z, obtemos a equação linear em z:
z' + \frac{4}{x}\,z = 8\,x.

Passo 4

Para resolver z' + \tfrac{4}{x}z = 8x, calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \tfrac{4}{x}\,dx\Bigr) = x^4.
Multiplicando a equação por x^4,
\frac{d}{dx}\bigl(x^4 z\bigr) = 8\,x\cdot x^4 = 8\,x^5.
Integrando,
x^4 z = \int 8\,x^5\,dx = \frac{8}{6}\,x^6 + C = \frac{4}{3}\,x^6 + C.
Logo
z = \frac{4}{3}\,x^2 + C\,x^{-4}.

Passo 5

Voltando a y, temos
y^4 = z = \frac{4}{3}\,x^2 + C\,x^{-4},
então a solução geral é
y(x) = \Bigl(\tfrac{4}{3}\,x^2 + C\,x^{-4}\Bigr)^{1/4},
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Para a solução que satisfaz y(1)=2, impondo x=1 e y=2:
2^4 =16 = \frac{4}{3}\cdot1^2 + C\cdot1^{-4} \quad\Longrightarrow\quad C =16 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{44}{3}.
Assim a solução particular é
y(x) = \Bigl(\tfrac{4}{3}\,x^2 + \tfrac{44}{3}\,x^{-4}\Bigr)^{1/4}.

Resposta

a) A solução geral é
y(x) = \Bigl(\tfrac{4}{3}\,x^2 + C\,x^{-4}\Bigr)^{1/4},
com C constante.
b) Com y(1)=2 obtém-se C = \tfrac{44}{3} e
y(x) = \Bigl(\tfrac{4}{3}\,x^2 + \tfrac{44}{3}\,x^{-4}\Bigr)^{1/4}.

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