Questão 4. a) (1,5 pt) Determine a solução geral para
b) (
)A única solução satisfazendo
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
que é uma equação de Bernoulli do tipo
com
,
e
. Vamos usar a transformação padrão para Bernoulli.
Passo 2
Em equações de Bernoulli, define-se
Derivando, temos
Passo 3
Substituindo
na equação original:
Multiplicando tudo por
,
Como
, obtemos a equação linear em
:
Passo 4
Para resolver
, calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
,
Integrando,
Logo
Passo 5
Voltando a
, temos
então a solução geral é
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Para a solução que satisfaz
, impondo
e
:
Assim a solução particular é
Resposta
a) A solução geral é
com
constante.
b) Com obtém-se
e
b) Com