Questão 2.
(1 pt) Determine a família de soluções para e seguinte EDO
y^{\prime}(x)=\frac{-4 x}{x^{2}+2} y(x)+5 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de soluções da EDO de primeira ordem
y'(x)=\frac{-4x}{x^2+2}\,y(x)+5x.
Este é um caso de equação linear na variável y. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão y' + P(x)\,y = Q(x), temos
y'(x) + \frac{4x}{x^2+2}\,y(x) = 5x,
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P(x)=\frac{4x}{x^2+2}, \quad Q(x)=5x.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int\frac{4x}{x^2+2}\,dx\Bigr).
Como \int\frac{4x}{x^2+2}\,dx=2\ln(x^2+2), segue
\mu(x)=e^{2\ln(x^2+2)}=(x^2+2)^2.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x), o lado esquerdo se torna derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl[(x^2+2)^2\,y(x)\bigr] =(x^2+2)^2\cdot5x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
(x^2+2)^2\,y(x) =\int 5x\,(x^2+2)^2\,dx + C_1.
Para calcular \int5x\,(x^2+2)^2\,dx, fazemos u=x^2+2, du=2x\,dx, obtendo
\int5x\,u^2\,dx =\frac{5}{2}\int u^2\,du =\frac{5}{6}u^3+C_1 =\frac{5}{6}(x^2+2)^3+C_1.
Então
(x^2+2)^2\,y(x)=\frac{5}{6}(x^2+2)^3 + C_1.

Passo 6

Isolando y(x), dividimos por (x^2+2)^2 e renomeamos C_1 para C:
y(x)=\frac{5}{6}(x^2+2) + C\,(x^2+2)^{-2}.

Resposta

y(x)=\frac{5}{6}(x^2+2) + C\,(x^2+2)^{-2},\quad C\in\mathbb{R}.

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