Questão 2.
(1 pt) Determine a família de soluções para e seguinte EDO
u^{\prime}(t)=t \ln (2 t) \cdot u^{3}(t)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
u'(t)=t\ln(2t)\,\bigl(u(t)\bigr)^{3}
e pede sua família de soluções. O conteúdo aqui é equação diferencial separável, pois dá para escrever todos os u de um lado e t do outro.

Passo 2

Separamos variáveis, assumindo u\neq0 e t>0:
\frac{du}{u^{3}} \;=\; t\ln(2t)\,dt.

Passo 3

Agora integramos cada lado. À esquerda:
\int u^{-3}\,du = -\frac{1}{2u^{2}}.
À direita, usamos integração por partes com \displaystyle A=\ln(2t) e dB=t\,dt. Então dA=\frac{1}{t}dt e B=\tfrac{t^{2}}{2}, vindo
\int t\ln(2t)\,dt =\frac{t^{2}}{2}\ln(2t)+C_{1} -\int \frac{t^{2}}{2}\cdot\frac{1}{t}\,dt =\frac{t^{2}}{2}\ln(2t)-\frac{t^{2}}{4}+C_{1}.

Passo 4

Igualando as integrais e absorvendo constantes, obtemos
-\frac{1}{2u^{2}} =\frac{t^{2}}{2}\ln(2t)-\frac{t^{2}}{4}+C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{u^{2}} =-\,t^{2}\ln(2t)+\frac{t^{2}}{2}+C_{2},
onde C_{2}=-2C_{1} é constante arbitrária.

Passo 5

Isolando u,
u^{2} =\frac{1}{C_{2}+\tfrac{t^{2}}{2}-t^{2}\ln(2t)},
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u(t) =\pm\frac{1}{\sqrt{\,C_{2}+\tfrac{t^{2}}{2}-t^{2}\ln(2t)\,}}.
Além disso, a solução trivial u(t)=0 também satisfaz a EDO.

Resposta

A família geral é
u(t) =\pm\frac{1}{\sqrt{\,C+\tfrac{t^{2}}{2}-t^{2}\ln(2t)\,}},
com C constante arbitrária, mais a solução trivial u(t)=0.

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