Questão 6 Identificar as cônicas dadas em coordenadas polares
r=2(\cos (\theta)+\sin (\theta)))

Passo 1

O enunciado dá a equação polar r=2(\cos\theta+\sin\theta) e pede para identificar a cônica. Para isso, vamos usar as relações de conversão para coordenadas cartesianas: r\cos\theta=x, r\sin\theta=y e r^2=x^2+y^2.

Passo 2

Substituindo \cos\theta=\frac{x}{r} e \sin\theta=\frac{y}{r} em r=2(\cos\theta+\sin\theta), temos
r=2\Bigl(\frac{x}{r}+\frac{y}{r}\Bigr).
Multiplicando os dois lados por r,
r^2=2(x+y).

Passo 3

Usando r^2=x^2+y^2 em x^2+y^2=2(x+y), obtemos
x^2-2x+y^2-2y=0.
Agora completamos quadrados:
(x-1)^2-1+(y-1)^2-1=0
e assim
(x-1)^2+(y-1)^2=2.

Passo 4

A forma (x-1)^2+(y-1)^2=2 caracteriza um círculo de centro (1,1) e raio \sqrt{2}.

Resposta

A equação polar r=2(\cos\theta+\sin\theta) representa um círculo de centro (1,1) e raio \sqrt{2}.

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