Questão 1. Considere a equação diferencial e a função y=F(t, y) dada: y^prime prime+y=sec t, y=cos t ln (cos t)+t sen t
(a) (0.3 pt) Classifique a equação diferencial de acordo com a ordem e linearidade;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial dada por $ y’’ + y = \sec t $ e uma função $ y = \cos t \ln (\cos t) + t \sin t $. O que precisamos fazer aqui é classificar essa equação diferencial de acordo com a ordem dela e se ela é linear ou não. Para isso, vamos precisar entender o que significa ordem e linearidade em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a ordem da equação diferencial. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação. Olhando para a nossa equação $ y’’ + y = \sec t $, vemos que a derivada de maior ordem é $ y’’ $, que é a segunda derivada. Portanto, a ordem da equação é segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos discutir a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se ela puder ser escrita na forma $ a_n(t) y^{(n)} + a_{n-1}(t) y^{(n-1)} + \dots + a_1(t) y’ + a_0(t) y = g(t) $, onde as funções $ a_i(t) $ e $ g(t) $ dependem apenas da variável independente (neste caso, $ t $) e não de $ y $ ou suas derivadas de forma não linear.
Vamos analisar nossa equação $ y’’ + y = \sec t $:
  • Os termos envolvendo $ y $ são $ y’’ $ e $ y $, que estão na primeira potência e não estão multiplicados entre si ou por funções de $ y $.
  • O lado direito $ \sec t $ é apenas uma função de $ t $.
Como a equação está na forma linear, sem termos como $ y^2 $, $ y y’ $, etc., podemos concluir que a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial $ y’’ + y = \sec t $ é de segunda ordem e linear.

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