Questão 8. Considere a equação diferencial y^{\prime}+5 y=2.
a) Mostre que a função \varphi(x)=\frac{2}{5}+c e^{-5 x} é uma solução, onde c é qualquer constante.
b) Assumindo a solução do item a), ache uma solução satisfazendo \varphi(1)=2;
c) Encontre a solução satisfazendo \varphi(1)=3 \varphi(0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a família de soluções da EDO
y'+5y=2
é
\varphi(x)=\frac{2}{5}+c\,e^{-5x},
e em seguida ajustar a constante c para duas condições distintas.

Passo 2

Para mostrar que \varphi(x)=\tfrac{2}{5}+c e^{-5x} satisfaz \varphi'(x)+5\varphi(x)=2, calculamos a derivada e substituímos:
\varphi'(x)=-5c\,e^{-5x}.
Logo,
\varphi'(x)+5\varphi(x) =-5c\,e^{-5x}+5\Bigl(\tfrac{2}{5}+c\,e^{-5x}\Bigr) =-5c\,e^{-5x}+2+5c\,e^{-5x} =2,
que coincide com o lado direito da EDO. Portanto, é solução.

Passo 3

Para achar a solução que satisfaz \varphi(1)=2, impomos
\varphi(1)=\frac{2}{5}+c\,e^{-5}=2.
Então
c\,e^{-5}=2-\tfrac{2}{5}=\tfrac{8}{5}, \quad c=\tfrac{8}{5}e^{5}.
Assim,
\varphi(x)=\frac{2}{5}+\frac{8}{5}e^{5}e^{-5x} =\frac{2}{5}+\frac{8}{5}e^{5(1-x)}.

Passo 4

Para a condição \varphi(1)=3\varphi(0), escrevemos
\varphi(1)=\frac{2}{5}+c\,e^{-5}, \quad \varphi(0)=\frac{2}{5}+c,
e impomos
\frac{2}{5}+c\,e^{-5}=3\Bigl(\frac{2}{5}+c\Bigr).
Isso leva a
c\,(e^{-5}-3)=\frac{4}{5}, \quad c=\frac{\tfrac{4}{5}}{\,e^{-5}-3\,} =\frac{4}{5\,(e^{-5}-3)}.
Logo,
\varphi(x)=\frac{2}{5}+\frac{4}{5\,(e^{-5}-3)}\,e^{-5x}.

Resposta

(a) \varphi(x)=\frac{2}{5}+c\,e^{-5x}.
(b) \varphi(x)=\frac{2}{5}+\frac{8}{5}e^{5(1-x)}.
(c) \varphi(x)=\frac{2}{5}+\frac{4}{5\,(e^{-5}-3)}\,e^{-5x}.

Exercícios relacionados