Questão 4:
Considere a equação diferencial a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0, \operatorname{com} a, b e c constantes. Exiba o conjunto fundamental, y_{1} e y_{2}, de soluções para:
Mostre que essas funções são de fato soluções da equação diferencial.
(c) b^{2}-4 a c<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e pede, no caso b^{2}-4ac<0, que sejam exibidas duas soluções fundamentais y_{1} e y_{2} e que se mostre que elas realmente satisfazem a equação.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é a\,y''+b\,y'+c\,y=0, com a,b,c constantes e a\neq0.
  • A condição do item é b^{2}-4ac<0 (discriminante negativo).
  • O pedido: exibir um conjunto fundamental de soluções y_{1},y_{2} e mostrar que são soluções da equação diferencial (ou seja, ao substituir na EDO obtemos zero) e que formam um conjunto fundamental (são linearmente independentes).

Passo 2

Montar a equação característica associada e resolver para as raízes complexas.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} na EDO obtém-se que r deve satisfazer a equação polinomial (equação característica)
a r^{2}+b r+c=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara às raízes dessa quadrática:
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Como foi dado que b^{2}-4ac<0, as raízes são complexas conjugadas. Escrevemos-nas na forma
r=\alpha\pm i\beta,
onde definimos
\alpha=\frac{-b}{2a}, \qquad \beta=\frac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}.
Observação: \beta\neq0 porque b^{2}-4ac<0 implica 4ac-b^{2}>0.

Passo 3

Explicar por que e^{(\alpha\pm i\beta)x} são soluções complexas e como obter soluções reais a partir delas.
Se r é raiz da equação característica, então y=e^{r x} satisfaz a EDO porque, ao derivar e substituir,
a(r^{2}e^{r x})+b(r e^{r x})+c(e^{r x})=e^{r x}\bigl(a r^{2}+b r+c\bigr)=e^{r x}\cdot 0=0.
Portanto y=e^{(\alpha+i\beta)x} e y=e^{(\alpha-i\beta)x} são soluções complexas da EDO. Como a EDO tem coeficientes reais, as partes real e imaginária de qualquer solução complexa são também soluções reais da EDO. Usando a fórmula de Euler:
e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}\bigl(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)\bigr).
Logo as funções reais
y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x), \qquad y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x)
são candidatas naturais para formar o conjunto fundamental de soluções reais.

Passo 4

Mostrar de maneira direta (com poucas contas) que y_{1} e y_{2} realmente satisfazem a EDO, usando linearidade.
Já sabemos que e^{(\alpha+i\beta)x} é solução complexa, ou seja,
L\bigl(e^{(\alpha+i\beta)x}\bigr)=0,
onde L é o operador linear L[y]=a y''+b y'+c y. Expandindo com Euler,
L\bigl(e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)\bigr)=L(y_{1})+i\,L(y_{2})=0.
Como L(y_{1}) e L(y_{2}) são funções reais, a igualdade complexa implica simultaneamente L(y_{1})=0 e L(y_{2})=0. Portanto y_{1} e y_{2} são soluções reais da EDO.
(Se preferir verificar por substituição direta, pode calcular y' e y'' de cada uma e substituir em a y''+b y'+c y; o cálculo dará zero porque a equação característica anula os coeficientes resultantes — a demonstração via Euler é mais elegante e menos propensa a erros de manipulação.)

Passo 5

Calcular explicitamente as derivadas de y_{1} e y_{2} (para quem quer ver a conta) — passo-a-passo de diferenciação.
Para y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x):
y_{1}'(x)=\alpha e^{\alpha x}\cos(\beta x)-\beta e^{\alpha x}\sin(\beta x)=e^{\alpha x}\bigl(\alpha\cos\beta x-\beta\sin\beta x\bigr),
y_{1}''(x)=e^{\alpha x}\bigl((\alpha^{2}-\beta^{2})\cos\beta x - 2\alpha\beta\sin\beta x\bigr).
Para y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x):
y_{2}'(x)=\alpha e^{\alpha x}\sin(\beta x)+\beta e^{\alpha x}\cos(\beta x)=e^{\alpha x}\bigl(\alpha\sin\beta x+\beta\cos\beta x\bigr),
y_{2}''(x)=e^{\alpha x}\bigl((\alpha^{2}-\beta^{2})\sin\beta x + 2\alpha\beta\cos\beta x\bigr).
Se quiser, substituindo essas expressões em a y''+b y'+c y e agrupando coeficientes de \cos\beta x e \sin\beta x aparecerá exatamente o sistema que implica a(\alpha^{2}-\beta^{2})+b\alpha+c=0 e -2a\alpha\beta+b(-\beta)=0, que são as partes real e imaginária da equação característica avaliada em \alpha+i\beta. Essas igualdades são verdadeiras porque \alpha+i\beta é raiz de a r^{2}+b r+c=0. Assim a substituição dá zero.

Passo 6

Provar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (portanto formam um conjunto fundamental).
Calculemos o Wronskiano W(y_{1},y_{2})(x):
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Usando as formas já calculadas:
y_{1}=e^{\alpha x}\cos\beta x,\qquad y_{2}=e^{\alpha x}\sin\beta x,
y_{1}'=e^{\alpha x}(\alpha\cos\beta x-\beta\sin\beta x), \qquad y_{2}'=e^{\alpha x}(\alpha\sin\beta x+\beta\cos\beta x).
Então
W(x)=e^{\alpha x}\cos\beta x\cdot e^{\alpha x}(\alpha\sin\beta x+\beta\cos\beta x) - e^{\alpha x}(\alpha\cos\beta x-\beta\sin\beta x)\cdot e^{\alpha x}\sin\beta x.
Fatorando e^{2\alpha x} e simplificando trigonometria:
W(x)=e^{2\alpha x}\bigl[\alpha\cos\beta x\sin\beta x+\beta\cos^{2}\beta x -\alpha\cos\beta x\sin\beta x+\beta\sin^{2}\beta x\bigr] = e^{2\alpha x}\beta(\cos^{2}\beta x+\sin^{2}\beta x).
Portanto
W(x)=\beta\,e^{2\alpha x}.
Como \beta\neq0 e e^{2\alpha x}\neq0 para todo x, tem-se W(x)\neq0 para todo x. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções reais da EDO.]

Passo 7

Resumo didático e dica para a prova.
  • Método rápido para a prova: escreva a equação característica a r^{2}+b r+c=0, calcule r=\alpha\pm i\beta quando b^{2}-4ac<0, e então memorize que as soluções reais fundamentais são
y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x).
  • Para mostrar que são soluções, pode usar o argumento de que e^{(\alpha\pm i\beta)x} satisfaz a EDO e separar parte real e imaginária; para mostrar independência calcule o Wronskiano (que neste caso dá \beta e^{2\alpha x}\neq0).
  • Anote sempre \alpha=-\dfrac{b}{2a} e \beta=\dfrac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a} (atenção ao sinal de a; o que importa é que \beta\neq0).

Resposta

y_{1}(x)=e^{\left(-\dfrac{b}{2a}\right)x}\cos\!\left(\dfrac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}\,x\right)
y_{2}(x)=e^{\left(-\dfrac{b}{2a}\right)x}\sin\!\left(\dfrac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}\,x\right)

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