Questão 4:
Considere a equação diferencial a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0, \operatorname{com} a, b e c constantes. Exiba o conjunto fundamental, y_{1} e y_{2}, de soluções para:
Mostre que essas funções são de fato soluções da equação diferencial.
(c) b^{2}-4 a c<0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e pede, no caso b^{2}-4ac<0, que sejam exibidas duas soluções fundamentais y_{1} e y_{2} e que se mostre que elas realmente satisfazem a equação.
Informações relevantes fornecidas:
A equação é a\,y''+b\,y'+c\,y=0, com a,b,c constantes e a\neq0.
A condição do item é b^{2}-4ac<0 (discriminante negativo).
O pedido: exibir um conjunto fundamental de soluções y_{1},y_{2} e mostrar que são soluções da equação diferencial (ou seja, ao substituir na EDO obtemos zero) e que formam um conjunto fundamental (são linearmente independentes).
Passo 2
Montar a equação característica associada e resolver para as raízes complexas.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} na EDO obtém-se que r deve satisfazer a equação polinomial (equação característica)
a r^{2}+b r+c=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara às raízes dessa quadrática:
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Como foi dado que b^{2}-4ac<0, as raízes são complexas conjugadas. Escrevemos-nas na forma
Portanto y=e^{(\alpha+i\beta)x} e y=e^{(\alpha-i\beta)x} são soluções complexas da EDO. Como a EDO tem coeficientes reais, as partes real e imaginária de qualquer solução complexa são também soluções reais da EDO. Usando a fórmula de Euler:
Como L(y_{1}) e L(y_{2}) são funções reais, a igualdade complexa implica simultaneamente L(y_{1})=0 e L(y_{2})=0. Portanto y_{1} e y_{2} são soluções reais da EDO.
(Se preferir verificar por substituição direta, pode calcular y' e y'' de cada uma e substituir em a y''+b y'+c y; o cálculo dará zero porque a equação característica anula os coeficientes resultantes — a demonstração via Euler é mais elegante e menos propensa a erros de manipulação.)
Passo 5
Calcular explicitamente as derivadas de y_{1} e y_{2} (para quem quer ver a conta) — passo-a-passo de diferenciação.
y_{2}''(x)=e^{\alpha x}\bigl((\alpha^{2}-\beta^{2})\sin\beta x + 2\alpha\beta\cos\beta x\bigr).
Se quiser, substituindo essas expressões em a y''+b y'+c y e agrupando coeficientes de \cos\beta x e \sin\beta x aparecerá exatamente o sistema que implica a(\alpha^{2}-\beta^{2})+b\alpha+c=0 e -2a\alpha\beta+b(-\beta)=0, que são as partes real e imaginária da equação característica avaliada em \alpha+i\beta. Essas igualdades são verdadeiras porque \alpha+i\beta é raiz de a r^{2}+b r+c=0. Assim a substituição dá zero.
Passo 6
Provar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (portanto formam um conjunto fundamental).
Como \beta\neq0 e e^{2\alpha x}\neq0 para todo x, tem-se W(x)\neq0 para todo x. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções reais da EDO.]
Passo 7
Resumo didático e dica para a prova.
Método rápido para a prova: escreva a equação característica a r^{2}+b r+c=0, calcule r=\alpha\pm i\beta quando b^{2}-4ac<0, e então memorize que as soluções reais fundamentais são
Para mostrar que são soluções, pode usar o argumento de que e^{(\alpha\pm i\beta)x} satisfaz a EDO e separar parte real e imaginária; para mostrar independência calcule o Wronskiano (que neste caso dá \beta e^{2\alpha x}\neq0).
Anote sempre \alpha=-\dfrac{b}{2a} e \beta=\dfrac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a} (atenção ao sinal de a; o que importa é que \beta\neq0).